Exercice sur la fonction exponentielle...

[problememaths]

Bonjour, voila je n'arrive pas a résoudre un exercice, et je sollicite donc votre aide :triste: ...

Énoncée:
[I]Soit g(x) = e(x) - x - 1

1) Étudier le signe de g
2)En déduire pour tout naturel non nul n les inégalités suivantes:

[INDENT]a: e(1/n) > 1 + 1/n
b: e[-1/(n+1)] > 1 - 1/(n+1)[/INDENT]

3) On definie la suite u(n) par u(n) = (1+1/n)^n pour tout n € N
[INDENT]Démontrer que: u(n) 0[/B]

Donc e(x) - x - 1 > 0

e(x) > x + 1[/INDENT]

2) Il suffit de remplacer x, dans l'expression ci dessus par 1/n et -1/(n+1) pour retomber sur les résultats attendus.

3) Je sais que
[INDENT]e(1/n) > 1 + 1/n
[e(1/n)]^n > [1 + 1/n]^n
e(1) > u(n)
e > u(n)[/INDENT]

4) La commencent les problèmes... Justement moi je ne sais pas par ou commencer pour résoudre cette question...

5) Les résultats de cette question dépendent de la 4


Merci de votre aide a tous !!!! :briques:

[XENSECP]

La 4) Je suggère une récurrence a priori ^^

Sinon je te félicite ! J'ai jamais vu un topic aussi bien présenté ;)

[didinebdx]

Bonjour, voila je n'arrive pas a résoudre un exercice, et je sollicite donc votre aide :triste: ...

Énoncée:
[I]Soit g(x) = e(x) - x - 1

1) Étudier le signe de f

Tout d'abord, dans la question 1. à quoi correspond f ?

[Huppasacee]

La 4 découle de la 2b

[problememaths]

>Oops une petite erreur pour la question 1 que j'ai corrigée ! (g non f)

>Une récurrence ne fonctionne pas ici... Car (1 + 1/n)^(n+1) ne correspond pas a u(n+1), non ?

>Oui moi justement je pensais partir de la 2b mais je ne m'en sort pas !

[INDENT]e[-1/(n+1)] > 1 - 1/(n+1)
[ e[-1/(n+1)] ]^(-(n+1)) > [1 - 1/(n+1) ]^(-(n+1))
e(1) < ....[/INDENT]

(Merci XENSECP du compliment !)

[Huppasacee]

e[-1/(n+1)] > 1 - 1/(n+1)

on élève à la puissance n+1

n+1 > 0 donc la fonction x^(n+1) est croissante

l'ordre est conservé

>
on met au même dénominateur

et on prend l'inverse
or la fonction inverse est décroissante , donc l'ordre est inversé

[problememaths]

A oui...

[INDENT]e[-1/(n+1)] > 1 - 1/(n+1)

[ e[-1/(n+1)] ]^(-(n+1)) < [1 - 1/(n+1) ]^(-(n+1))
e < [1 - 1/(n+1) ]^(-(n+1))
e < [(n+1)/(n+1) - 1/(n+1) ]^(-(n+1))
e < [(n)/(n+1)]^(-(n+1))
e < [(n+1)/(n)]^(n+1)
e < [1 +1/n]^(n+1)
[/INDENT]
Voila ^^

Maintenant la 5....

[Huppasacee]

tu as mis au même dénominateur ?
tu as pris l'inverse ?

[problememaths]

A peine le temps de modifier mon message que tu avais déjà répondu ! Chapeau

5) Un encadrement peut-il seulement etre une majoration:
[INDENT]
u(n) < e

e < (1 + 1/n)^(n+1)[/INDENT]

Donc
[INDENT]u(n) < (1 + 1/n)^(n+1)[/INDENT]

J'en déduis que lim de u(n) en +infini est 1, car quand n tend vers + infini,
lim (1 + 1/n)^(n+1) = 1

C'est bon ? Merci de votre aide !

[Huppasacee]

e < (1 + 1/n)^(n+1)

comment peut on écrire le second membre en utilisant Un ?

[problememaths]

Alors...

[INDENT]e < (1 + 1/n)^(n+1)
e < (1 + 1/n)^n x (1 + 1/n)
e < u(n) x (1 + 1/n)
[ e / (1 + 1/n) ] < u(n) [/INDENT]

Bilan: [INDENT]
[ e / (1 + 1/n) ] < u(n) < (1 + 1/n)^(n+1)[/INDENT]

Cette fois c'est ok ? Merci de votre aide a tous !