Egalités d'affixes et de modules

[Iggy]

Bonjour, suite a quelques heures d'arrachements de cheveux je poste ici pour demander aide. Je suis actuellement bloqué sur une démonstration d'égalité :

Soient u, v et w affixes repectifs des points U, V et W. En sachant que |vw+wu+uv|=|u+v+w| et que les modules de u, v et w valent 1, démontrer que lorsque u+v+w=0 alors u²+v²+w²=0.

Donc mon idée est celle ci :

Supposons u+v+w=0 :

u+v+w=0 |u+v+w|=|0|= 0
Or |u+v+w|=|vw+wu+uv| donc :
|vw+wu+uv|=|0| vw+wu+uv=0

Je ne sais pas si le peu que j'ai fait est juste, mais si c'est le cas, je pense qu'il est possible de transformer vw+wu+uv en u²+v²+w² et donc de résoudre la démonstration.

Merci d'avance.

[Fract83]

Hello,

Tu vas encore t'en arracher des cheveux, tu n'etais pas loin ! :we:

(u+v+w) * (u+v+w) = ...

Or, (u+v+w)=0, donc ... = 0.

Et comme |vw+wu+uv|=|u+v+w| et (u+v+w)=0 => |u+v+w|=0, on a egalement |vw+wu+uv|=0, et donc aussi (vw+wu+uv)=0.

D'ou ... = u²+v²+w².

Et donc, u²+v²+w² = 0.

CQFD.

Tu vois ?

Par contre, sauf erreur de ma part, je ne vois pas en quoi l'affirmation "que les modules de u, v et w valent 1" est utile...

Bonne soiree.

[yos]

C'est parce que les modules valent 1 que l'on a |vw+wu+uv|=|u+v+w|.

[Iggy]

Tu vois ?

Ah complètement, merci de ton aide.

Par contre, sauf erreur de ma part, je ne vois pas en quoi l'affirmation "que les modules de u, v et w valent 1" est utile...

J'ai préféré la donner, mais elle n'est apparement utile que dans la démonstration de la première égalité (|vw+wu+uv|=|u+v+w|).

Bon, enchainons sur la question suivante (j'ai déjà pas mal fait de recherches dessus aussi, mais en vain):

Que peut-on dire du triangle UVW? (points respectivement d'affixes u,v et w, les mêmes que ceux precedemments et u+v+w=0).

Je pense que le triangle est équilateral mais je ne vois pas du tout par ou partir pour le démontrer, une idée?

[tigri]

déjà , si u, v, w ont un même module 1 , les points U,V,W, sont sur le cercle de centreO et de rayon 1

[tigri]

si tu désignes par W' le point d'affixe u+v, c'est le 4eme sommet du parallélogramme OUW'V
pour que u+v=-w, il faut que W' soit aussi sur le cercle de centre O de rayon 1
ceci n'a lieu que si l'angle de vecteurs OU,OV est de 120°
d'où le triangle équilatéral UVW

[Iggy]

si tu désignes par W' le point d'affixe u+v, c'est le 4eme sommet du parallélogramme OUW'V
pour que u+v=-w, il faut que W' soit aussi sur le cercle de centre O de rayon 1
ceci n'a lieu que si l'angle de vecteurs OU,OV est de 120°
d'où le triangle équilatéral UVW

Tu te bases sur quelles propriétés mathématiques pour démontrer tout celà? Tout ceci fonctionne effectivement, mais je me vois très mal le démontrer proprement, ca partirais un peu dans tous les sens.

Je ne cherche pas non plus à vous soutirer un exercice rédigé, je vous rassure :lol4: !

[tigri]

la position de W' c'est par définition de l'interprétation géométrique de la somme de deux complexes

[tigri]

puisque w est de module 1 , son opposé a même module que lui