Etude de fonction

[barbara40]

Bonjour,

Sur R *+, on considere f(x)=x2+1 et g(x)=x2+x+(ln(x)/x)
1)Etudiez f et g, représentez f et g et etudiez la position relative de Cf et Cg
2) Determiner l'aire A comprise entre Cf et Cg et les droites d'equations x=1/e et x=e


la derivee de f(x) est 2x, celle de g(x), g'(x)=2x+1+(1-lnx)/x2
quand xO mais quand x>1????je ne sais pas faire
merci de votre aide

[Florélianne]

Bonsoir,
Sur R *+, on considère f(x)=x2+1 et g(x)=x2+x+(ln(x)/x)
1)Etudiez f et g, représentez f et g et étudiez la position relative de Cf et Cg

2) Déterminer l'aire A comprise entre Cf et Cg et les droites d'équations x=1/e et x=e


la dérivée de f(x) est 2x, celle de g(x), g'(x)=2x+1+(1-lnx)/x2 bien !

g'(x) > 0 2x+1+(1-lnx)/x2 > 0 x²(2x+1) +1-lnx > 0
x²(2x+1) +1 > lnx 2x^3 +x² + 1 > lnx

2x^3 +x² + 1 > lnx e^2x^3 +x² + 1 > x
sur [1; +oo[ , 2x^3 +x² + 1 > x
donc toujours vrai sur ]0 ; 1[

2(-1)^3 + (-1)² +1 = -2 +1+1 = 0
donc 2x^3 + x² + 1 = (x+1)(ax²+bx+c)
(x+1)(ax² + bx +c) = ax^3 +bx² + cx + ax² + bx + c =
= ax^3 + (b+a)x² + (b+c)x + c = 2x^3 + x² +1

• a=2
• b+2=1 b=-1
• c=1
• b+c=-1+1 = 0 vrai

2x^3 + x² +1 = (x+1)(2x² - x +1)
2x² - x + 1 = 0
delta = 1-8 0
donc e^2x^3 + x² +1 > 1 > x
vrai !
g'(x) > 0C'est un peu long, peut-être y-a-t-il plus court...

quand xO comment as-tu pu l'affirmer si vite ? alors que c'est ce qui a été le plus long pour moi ... je sais je ne suis pas du tout en forme... mais j'espérais ne pas être tombée trop bas...
mais quand x>1????je ne sais pas faire
là on sait que pour tout réel x , e^x > x
mais si tu ne l'as pas vu tu peux le constater graphiquement en traçant la droite y=x, je peux aussi te le démontrer très vite...
Bien cordialement