Voici un exo anodin en apparence, qui a l'air très intéressant. Mais je bloque à la question 3, à "En déduire T^n". Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci !
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On considère l'ensemble E des suites complexes qui vérifient la relation de récurrence :
(R) qq soit n appartient à N, u_(n+4) ;) 2 u_(n+3) + 2 u_(n+2) ;) 2 u_(n+1) + u_n = 0
1. Montrer que cest un C-espace vectoriel et préciser sa dimension.
2. Montrer que lapplication T : (u_n) ;) (u_(n+1)) est un endomorphisme de
E.
3. Trouver un polynôme annulateur de T. En déduire T^n en fonction de
certaines puissances de T. Puis lexpression du terme général u_n dune
suite de E en fonction de u_0, u_1, u_2, u_3 et de lentier n.
4. Etudier lensemble E_R des suites réelles qui vérifient la relation de récurrence (R).