Condition de convergence normale

[Triniko]

Bonsoir,

Je réfléchis à l'exercice suivant mais je trouve un résultat qui me bloque:

soit (an) une suite de nombres réels positifs décroissante et (Un) la série de fonctions: Un(x)=a[n]*x^n*(1-x) sur [0,1]

question: à quelle condition cette série converge-t-elle normalement?

Je trouve pour la norme de la convergence uniforme de Un:

a[n]/(exp(1)*(n+1)) mais je ne vois pas la condition pour que cette série converge. Même en essayant de majorer, je ne vois pas. Pouvez vous m'aider?

Merci.

[L.A.]

Bonsoir.

Il y a quelques imprecisions dans l'énoncé : sur quel intervalle étudie-t-on la convergence normale ?

revérifie aussi la fonction Un(x) que tu donnes, je ne vois pas d'où vient la norme...

[Triniko]

Bonjour,
excusez moi pour les imprécisions:
l'étude de la série se fait sur l'intervalle [0,1]

La fonction Un(x) est bien: Un(x)=a[n]*x^n*(1-x)

La norme infinie que je trouve est: a[n]/(exp(1)*(n+1))

avec a[n]: a indice n

[yos]

Calcule .
Ce que tu donnes est plutôt un majorant de la norme infinie. Et je vois pas pourquoi tu prends e.

[Triniko]

Bon, j'ai repris mon petit calcul:
en dérivant la fonction Un, j'ai (désolé je maîtrise pas le Latex):

sur [0,1],
||Un|| infini =sup|Un(x)|= a[n]*(n/(n+1))^n*(1-n/(n+1))

mais je ne vois pas la condition de convergence normale?!

[Triniko]

Si on fait un équivalent quand n tend vers l'infini il ya bien un "e" qui apparaît.

[yos]

donc la convergence normale équivaut à la convergence de la série .
Une CN est . Est-ce suffisant? A méditer.