DM développement asymptotique

par **bidoudubuis** » 27 Déc 2008, 12:39

Bonjour voilà j'ai un DM de maths à faire mais je suis bloqué à une question que voici:
soit U0=Pi/2 et Un+1=sin(Un)
on pose Vn=1/Un²
question:Montrer qu'il existe n0N tel que si n>n0 alors Vn+1-Vn>=1/4
en déduire que n est dominé par Vn (i.e n=O(Vn))
merci d'avance

par **XENSECP** » 27 Déc 2008, 13:12

Tu as fait qq calculs?

par **bidoudubuis** » 27 Déc 2008, 15:22

merci de ton aide
oui j'ai montré que Un était décroissande, convergente vers 0 par conséquent Vn est croissante divergente vers +infini aisni Vn+1-vn>=0
après je bloque!

par **XENSECP** » 27 Déc 2008, 15:29

Tu as calculé Vn+1-Vn directement ?

par **bidoudubuis** » 27 Déc 2008, 15:44

le calcul de Vn+1-Vn me donne (Un²-sin²(Un))/(Un²*sin²(Un))
j'arrive à minorer 1/(Un²*sin²(Un))>=4/Pi² mais je n'arrive pas à minorer
(Un²-sin²(Un)) par autre que chose que 0

par **XENSECP** » 27 Déc 2008, 15:57

En fait comme tu le dis dans le titre faut faire un développement asymptotique ^^

Tu a démontré que

(on revient pas dessus...) Donc tu peux faire des DL en 0

par **bidoudubuis** » 27 Déc 2008, 16:06

j'ai fait le DL de Vn+1-Vn=1/3+O(Un²)
mais je ne vois pas d'où on peut tirer une minoration de là??

par **XENSECP** » 27 Déc 2008, 16:42

Etrange effectivement...
Bah je donne ma langue au chat momentanément :)

par **bidoudubuis** » 27 Déc 2008, 16:44

lol merci beaucoup pour l'instant!! :mur:
et disons que si on admet momentanément cette minoration comment peut on en déduire la domination de n par Vn??

par **XENSECP** » 27 Déc 2008, 16:52

Hum bah en fait si tu prends la suite Wn arithmétique de raison 1/4 alors Wn+1 - Wn = 1/4 avec Wn=1/4*n (+W0 qu'on peut prendre nul)
Donc je dirais que l'on majore : Vn > Wn... Un peu bancale je sais mais j'ai le sentiment d'avoir manqué un truc dans le raisonnement ^^

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