Enigme de maths !

par **melasdu08090** » 24 Déc 2008, 10:15

Bonjour,

Voilà, je suis en 1ère S et notre professeur nous a demandé de réfléchir sur ce sujet :
"Sur une feuille de papier de 11cm de haut, on trace 21 traits bleus la partageant en 22 bandes d'égale hauteur. De plus, on trace 37 traits rouges la partageant en 38 bandes d'égale hauteur.
Quelle est la plus petite distance entre un trait bleu et un trait rouge ? Combien de fois est-elle réalisée ?"

Donc j'ai pensé à mettre l'énoncé sous forme de fonction et d'étudier le maximum de celle-ci mais en vain. Je suis vraiment bloqué.
Donc merci à celui ou celle qui aura une idée et bonnes fêtes de fin d'année.

par **guigui51250** » 24 Déc 2008, 10:55

salut

il faut que tu note tous les combiens de mm il y a un trait bleu et tout les combiens de mm il y a un trait rouge puis tu compare.

compris?

par **Florélianne** » 24 Déc 2008, 11:35

Bonjour,
Je ne pense pas que la solution passe par une étude de fonction mais plutôt par le théorème de Bezout :
l'écart entre deux lignes de couleurs différentes est exprimé par :
e = l11n/21 - 11p/37l valeur absolue
avec n et p entiers tels que 1 [u]0
k = l (37n-21p)/21*37 l
nous voulons e minimum, c'est à dire k minimum, c'est à dire q = l 37n-21p l minimum
mais q est un nombre entier (produits et différence de nombres entiers)
donc comme q = 0 ==> n=p = 0 impossible
q= 1 est le minimum
donc nous cherchons deux nombres entiers n et p tels que 37n - 21p = 1
ou 21p - 37n = 1
comme 21 et 37 sont étrangers nous savons que ces nombres existent (Bezout)
reste à vérifier qu'ils vérifient les inégalités de départ...
Bonne chance et bonnes vacances

par **melasdu08090** » 24 Déc 2008, 14:02

salut Florélianne, je ne sais pas ce quest le Théorème de Bezot. Mais c'est sympa d'avoir essayer de m'aider !

par **Florélianne** » 24 Déc 2008, 17:38

Bonsoir,
Le théorème de Bezout dit :
Si a et b sont deux nombres entiers (naturels) premiers entre eux (ou étrangers) alors il existe deux nombres entiers (relatifs) u et v tels que au+bv=1
exemple 5 et 7 sont premiers entre eux :il existe 10 et -7 tels que :
[color=Magenta]10*5 [color=Magenta]-7[color=Black]*7 = 1[/color][/color][/color]

pour 21 et 37 :
il existe -7 et 4 tels que :
-7[color=Black]*21 [color=Magenta]+4[color=Black]*37 = -147+148 = 1
ça devrait te donner la solution...
Joyeux Noël
[/color][/color][/color]

par **Zweig** » 24 Déc 2008, 18:26

Comme ce théorème est au programme de Terminale S spé Math, si elle ne l'a pas vue c'est qu'elle ne doit pas être encore en T°S, et donc qu'elle doit essayer de le faire avec ses outils :euh:

par **Florélianne** » 25 Déc 2008, 01:42

Bonjour,
J'ai bien compris que si Bezout était inconnu, c'est qu'il n'avait pas encore été vu !
Cependant, j'ai terminé la méthode (Bezout ne nous permet que d'affirmer l'existence des nombres entiers...)En utilisant le résultat, on peut utiliser ces nombres entiers pour trouver la réponse... donc on peut résoudre sans ce théorème !
Joyeux Noël

par **regis183** » 25 Déc 2008, 03:51

Bonsoir, j'aurais tendance à penser que la méthode de Florélianne est la seule envisageable, hormis qu'il y 'a peut-être ici une erreur:
on n'a pas : 1 < n < 21 et 1 < p < 37,
mais bien : 1 < n < 22 et 1 < p < 38 (les traits sont rapprochés voire confondus quand ils partagent de façon identique la feuille, il faut donc baser le raisonnement sur le nombre de bandes et non le nombre de traits!!!)

Donc |38n-22p|est minimal pour 2(19n-11p)=0
Donc n=11 et p=19, les 2 traits se confondant donc uniquement au milieu de la feuille.

J'espère ne pas avoir fait d'erreur, mais en simplifiant le problème ( en partagent par exemple en 2 et 4 bandes grâce à 1 et 3 traits), ça semble bien marcher.....

PS: Floréliane, toi aussi tu es une oubliée du papa Noel?

par **Florélianne** » 25 Déc 2008, 11:22

Bonjour,
Pour savoir si c'est 21 (les traits) ou 22 (les bandes) il faut bien étudier les termes de la question... j'ai penché pour 21, les bords n'étant pas comptés car non coloriés, sinon ce serait 23...) j'ai donc calculé la distance en partant d'un bord de la feuille
Je n'affirme jamais détenir la vérité... je donne ma façon de raisonner, mais sachant que l'erreur est humaine (et bénéfique !)
J'ai compris que tu raisonnais sur les bandes, mais je ne saisis pas bien ta démarche... pour moi les bandes me semblent bien plus difficiles à étudier... mais tout le monde n'a pas le même point de vue... c'est la richesse de l'humanité !
Personnellement je ne suis qu'à moitié oubliée par le Père Noël, il y a bien pire que moi... et toi ? es-tu dans la même situation ?
Joyeux Noël à tous

par **melasdu08090** » 25 Déc 2008, 12:21

JOYEUX NOEL A TOUS !
Désolé de te décevoir regis183 mais dans le titre de l'exercice, il est marqué distance minimale non nulle !
De plus j'ai cherché sur internet un cours sur le Théorème de Bezout et je commence à comprendre semble-t-il ce théorème ! Je crois que je vais choisir spé maths l'année prochaine ^^. Par contre Florélianne il y a (je pense) une petite erreur) car lorsque q=0, on peut avoir n=21 et p=37 non ? et dans ce cas ton raissonement me semble ne plus marcher ! En tout cas, merci à tous !

par **regis183** » 25 Déc 2008, 12:43

En fait ce n'est ni 21, ni 23 mais bien 22 traits ( il faut en rajouter un au début ou à la fin afin d'avoir "un point d'ancrage" pour pouvoir appliquer les divisions).
Bon d'accord mon explication n' a convaincu personne, je vois bien...
N'empêche qu'il suffit de ramener le problème à par exemple une ligne pourpre et 3 lignes jaune indigo ( vert quoi), pour voire que ça ne marche que comme ça.

Pour le réveillon j'étais avec ma grand mère (qui s'est couchée à 22h). J'aime beaucoup le Var, j'y ai vécu 3 ans ( Toulon et la Garde), les gens y nsont vraiment gentils... :briques:

par **phryte** » 25 Déc 2008, 13:31

Il suffit de dire que :
cos(2*pi*22/11*t)+cos(2*pi*38/11*t)=2
soit
2*pi*22/11*t=k1*2*pi
2*pi*38/11*t=k2*2*pi
soit
k1/k2=22/38=11/19
et 11 et 19 conviennent seulement

par **oscar** » 25 Déc 2008, 19:04

Bonjour

Il y a 21 traits BLEUS distants de o,50 cm car 21* 0,50 = 10,50 cm
soitbà 0,50 cm du bord supérieur

Il y a 37 traits ROUGES distants de 0,289.. car 37*0,289...= 10 ,73

Conclure

par **regis183** » 25 Déc 2008, 21:41

melasdu08090 a écrit:JOYEUX NOEL A TOUS !
Désolé de te décevoir regis183 mais dans le titre de l'exercice, il est marqué distance minimale non nulle !

Relis l'énoncé que tu as posté héhé :mur:

Ici tu n'as pas besoin de Bezout puisque 22 et 38 ne sont pas premiers entre eux

par **Florélianne** » 26 Déc 2008, 00:22

Bonsoir,
Pardon de n'avoir pû corriger plus tôt (c'est Noël, et la famille réclame aussi son dû !)
Ce n'est qu'après avoir envoyé en urgence ma dernière réponse que j'ai réalisé...
Il y a 21 traits donc c'est là que je ne comprenais pas "bande" la distance entre deux traits bleus est de 11/22 = 1/2cm
de même celle entre deux traits rouges est de 11/38
donc si 0 < n < 22 et 0 < p < 38 , n et p entiers
e=|11(n/22 - p/38)| = 11/2|n/11 - p/19|
le minimum est obtenu pour e = (11/2) * (1/11*19) ~ 0,026 cm

On l'obtient pour
7*11 - 4*19 = 77 - 76 = 1

Encore toutes mes excuses pour les bêtises précédentes !
Je pense que cette fois c'est correct ^_ *

Très cordialement
Une seynoise (La Seyne sur Mer) de souche... née à Toulon par accident...

par **regis183** » 26 Déc 2008, 01:45

Oui ça paraît correct comme ça, donc du coup je m'étais aussi trompé :cry: , milles excuses...

Enigme de maths !

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