DM Maths

[Blenno]

Bonjour, je bosse mon DM et j'ai un petit soucis.

Voici le sujet:

L'objectif de l'exercice est de déterminer avec n .

1.Conjecturer le résultat en prenant différentes valeur pour n.


n=0



n=1



On peut donc conjecturer que la limite est

2.Soit n , une fonction définie sur , par .

(a)Montrer que

Bon, je ne vous mets pas les détails, mais suffit de transformer un peu, de réduire, et c'est fini. J'ai réussi à le démontrer.

(b)Démontrer que pour tout n, on a

Et là, je n'y arrive pas. J'pensais qu'il serait bon d'utiliser le signe de la dérivée, mais j'y arrive pas.



Si vous avez une petite idée de la manière dont il faut procéder, je prends, parce que j'suis à court.

Merci à vous, et bonnes fêtes.

[le_fabien]

Bonjour,
tu as essayé par récurrence ?

[Monsieur23]

Aloha ;

Par récurrence ça marche tout seul !

[Blenno]

Par récurrence, en fonction de n et n+1 ?

[Monsieur23]

Ouép, suppose fn >0, et montre que f(n+1) >0

[Blenno]

Comment passer de

à ?

J'ai essayé avec un peu de calcul, à chaque fois, j'obtiens supérieur à un nombre avec des x et des k, et pas 0.

[le_fabien]

Bonjour,
Tu sais que et comme >0 alors strictement croissante.
De plus on en déduit que est strictement positive
C.Q.F.D. :zen:

[Blenno]

D'où

Et c'est sur , donc si et , sur , ça va donner ?

[Sa Majesté]

La récurrence ça consiste à démontrer
1) l'initialisation
2) l'hérédité
Pour l'instant tu n'as fait ni l'un ni l'autre

[Blenno]

Initialisation





A l'aide de la dérivée, et d'un tableau, on obtient donc pour tout .

Hérédité:

Je suppose:

Je veux démontrer que:





Je ne sais pas comment passer de la 1ère ligne, à la 2nde, par le calcul, je galère un peu.

@Sa Majesté, j'avais déjà l'initialisation, et j'ai commencé l'hérédité, sauf que j'obtiens jamais .

[le_fabien]

D'où

Et c'est sur , donc si et , sur , ça va donner ?

Les fn sont définies sur ]0;+inf[ ,non ?

[le_fabien]

Initialisation





A l'aide de la dérivée, et d'un tableau, on obtient donc pour tout .

Hérédité:

Je suppose:

Je veux démontrer que:





Je ne sais pas comment passer de la 1ère ligne, à la 2nde, par le calcul, je galère un peu.

@Sa Majesté, j'avais déjà l'initialisation, et j'ai commencé l'hérédité, sauf que j'obtiens jamais .

Apparemment tu n'as pas lu ce que j'ai écrit.

[Sa Majesté]

Je ne sais pas comment passer de la 1ère ligne, à la 2nde, par le calcul, je galère un peu.

@Sa Majesté, j'avais déjà l'initialisation, et j'ai commencé l'hérédité, sauf que j'obtiens jamais .

Il suffit d'étudier les variations de sur ]0,+oo[ en la dérivant

[Blenno]

Je pensais que c'était sur R, forcément je comprends mieux.

J'vais le finir, merci à vous.