Image d'une région par une application holomorphe

[albantor30]

Bonjour !

Je suis à la recherche d'un théorème permettant de caractériser l'image d'un domaine de par une application conforme. Plus précisément, si on a une application holomorphe (donc conforme) et un domaine, il suffit de regarder l'image du bord du domaine, et elle sera alors le bord de l'image de tout le domaine. De plus, l'image du domaine sera située "du même côté" de son bord que le domaine lui même (si on parcoure ce bord dans un certain sens). Et pour finir, si l'application est injective sur le bord du domaine, elle l'est alors sur tout le domaine.

Ce théorème permet donc de trouver facilement l'image d'un domaine puisqu'il suffit de regarder l'image de son bord.

Je conviens que tout ça n'est ni très rigoureux ni très clair, mais si quelqu'un voit de quoi je parle, je serai ravi d'avoir plus d'infos sur un tel théorème et sa démonstration

Merci !

[nuage]

Salut,
tu peux regarder l'image du disque de centre 0 et de rayon 2 privé de 1 et -1 par la fonction qui est holomorphe sur son domaine de définition.

[albantor30]

Merci pour ta réponse, nuage. Mais en fait je me suis mal exprimé, et en parlant de domaine de , je voulais parler d'un ouvert simplement connexe de :s Sinon je suis certain qu'on tel théorème existe, mon prof l'a évoqué en cours, mais je ne connais ni ses hypothèses exactes, ni sa formulation exacte

[Joker62]

C'est pas le théorème de représentation conforme de Riemann ?

[albantor30]

Non lui il parle d'équivalence conforme, pas d'image d'une application conforme.

[quinto]

Bonjour,
il y'a beaucoup de grosses erreurs dans ce que tu dis.

Notamment il est faux de dire que le bord est envoyé sur le bord et de facon injective.
Il faut faire attention lorsque tu annonces que le bord est envoyé sur le bord même sans supposer l'injectivité.
Ensuite il n'y a aucun rapport entre application conforme et application holomorphe. Une application holomorphe peut ne pas être conforme, par exemple la fonction z->z^2.
De même une application conforme peut ne pas être holomorphe (plus délicat et ça dépend de ce que l'auteur appelle application conforme, moi je prend pour définition une application qui conserve localement les angles).

Pour le reste tout n'est pas clair. Un théorème énonce que si f est conforme, que la frontière est simple, alors f peut se prolonger à la frontière de façon injective. C'est un théorème de Carathéodory, mais là encore l'origine de ce théorème est floue, je l'ai vu être attribuée à 3 personnes différentes.

Pour le coup de l'injectivité sur la frontière qui implique l'injectivité partout il faut faire assez attention. Par exemple, je pense qu'il faille emettre des hypothèses, notamment je pense que la fonction doit être continue partout sur l'adhérence du domaine.

Dans le cas où le domaine est simplement connexe et distinct du plan lui même, probablement le plus simple, on peut retrouver les valeurs de Re(f) uniquement à partir des valeurs sur la frontière (vrai pour tout domaine ou presque) et retrouver f (là on est obligé d'utiliser la simple connexité pour invoquer l'existence et unicité à constante près du conjugué harmonique).

[quinto]

Notons également et puisqu'il a été question ici du théorème de Riemann, qu'un équivalent existe pour des domaines non simplement connexes. Le résultat est alors plus compliqué à énoncer. En connectivité 2 (doublement connexe), c'est encore compréhensible. L'application conforme est explicitement connue (comme dans le cas simplement connexe) et est fonction du potentiel Greenien du domaine (ou hyperbolique). On peut via la notion de balayage des mesures, voir que c'est le potentiel logarithmique d'une certaine mesure signée.
En fait c'est "tout simplement" le produit de convolution entre une certaine mesure signée et un log. La mesure signée vérifie une propriété de minimisation, ce qui n'est pas étonnant, et sa partie positive et sa partie négative sont toutes les deux des mesures de probabilité.

3 bons livres sur le sujet:
M. Tsuji "Potential theory in the modern function theory".
Z. Nehari "Conformal mapping".
E. Saff & V. Totik "Logarithmic Potentials with external fields"

Dans le cas plus général c'est plus obscure mais on possède malgré tout des théorèmes de représentation grace à des domaines "canoniques", même si le nombre de "trous" est infini. Dans ce dernier cas, on perd cependant l'unicité des applications conformes. Les 2 premiers livres sont de bonnes références sur le sujet.

A noter par exemple, que deux anneaux sont conformes ssi et seulement si les rapports des rayons (modules) sont égaux.