Continuité dans une K-algèbre

[silent_james]

Bonsoir,

J'ai un petit problème pour la continuité de cette application :
On considère la K-algèbre des endomorphismes de E espace vectoriel de dimension finie et l'application qui au couple (T, S) dans E² associe T.S dans E.
Avec cet ensemble muni d'une norme d'algèbre |.|, on obtient :

|T.S - T'.S'| < max{|T'|, |S|} *( |T - T'|*|S - S'| ).

De là, on déduit que l'application est continue, mais je ne vois pas pourquoi...
je pensais au fait que la fonction était Lipschitz mais le max dépend de T' et S donc je ne vois pas.

Merci d'avance !!

[yos]

|T.S - T'.S'| < max{|T'|, |S|} *( |T - T'|*|S - S'| ).

La denière * est plutôt un +

je pensais au fait que la fonction était Lipschitz mais le max dépend de T' et S

Elle peut être continue sans être lipschitzienne. Quand (S',T') tend vers (S,T), que fait le second membre?

[silent_james]

Merci Yos de me répondre.
Oui en effet, c'était bien un plus.
Si (S',T') tend vers (S,T) alors |T - T'| +|S - S'| tend vers 0 mais le max{|T'|, |S|} me dérange toujours...

[yos]

Le max tend vers |S||T|, et donc le produit tend vers 0, c'est tout.

[Doraki]

le max de |S'| et |T'| il reste borné puisque S' et T' tendent vers S et T,
et il est multiplié par un truc qui tend vers 0.

[yos]

Je parlais bien du produit de |S||T| par (|T-T'|+|S-S'|), mais c'est vrai que mon précédent message était ambigu.

[silent_james]

Ok, merci beaucoup à vous deux.