Géométrie dans l'espace

[Isaac]

Bonjour,

Je suis en première ES spé maths. J’ai ce DM à rendre assez rapidement et il s’avère qu’il est très important. Je suis complètement perdu, je n’y arrive pas du tout. Merci d’essayer de me donner un coup de main. Je vous recopie l’exercice :

Dans une boulangerie la plus proche de la sortie de l’école, les enfants dépensent leur argent de poche en friandises : sucettes, pâtes de fruit et chewing-gum sont les friandises préférées des quatre petites filles, Alice, Blandine, Carole et Daphnée. En septembre, elles ont dépensé 10 euros pour satisfaire leur gourmandise.

Type de friandise Sucettes Pâtes de fruit Chewing-gum
Alice........................10.................35...................20
Blandine....................30................15....................5
Carole.......................20................10...................20
Daphnée....................0.................50....................25

On représente les achats de chaque enfant par un point M(x, y, z) où x, y et z sont les quantités de friandises achetées.
Ainsi A (10 ;35 ;20) représente les achats d’Alice, c’est-à-dire : 10 sucettes, 35 pâtes de fruit et 20 chewing-gum.

1) a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. Pour cela j’ai montré que les vecteurs n’étaient pas colinéaires, ainsi ils ne sont pas alignés et définissent un plan.
Montrer que A, B, C et D sont coplanaires. J’ai su le faire à l’aide d’un système à deux inconnues.

C’est après que ça se corse.

b. Déterminer une équation du plan (ABC).
c. En déduire le prix de chaque friandise.

2) Emilie, pendant la même période et dans la même boulangerie, a acheté : 10 sucettes, 20 pâtes de fruit et 20 chewing-gum.
Combien a-t-elle dépensé en friandises ?
E (10 ; 20 ; 20) est-il un point du plan (ABC) ?

3) En octobre, réglisses, caramels et guimauves remplacent respectivement sucettes, pâtes de fruit et chewing-gum pour Blandine, Carole et Emilie.
Les quantités respectives achetées dans le mois restent les mêmes qu’au moins précédent et elles dépensent toutes les trois 10 euros chacune.

a. Quelle est l’équation du plan (BCE) ?
En déduire le prix de chaque friandise.

b. Si Alice avait changé d’avis, le point A associé appartiendrait-il au plan (BCE) ?
Qu’est-ce que cela signifierait en terme d’achat ?

4) Représenter les plans (ABC) et (BCE) par leurs traces sur les plans de base.

Voilà, c’est assez conséquent mais il faut vraiment que j’y arrive et pourtant je ne m’en sors pas, malgré de nombreuses heures à « patiner dans la semoule ».

Je compte sur vous, merci d’avance.

[XENSECP]

Alors tout d'abord on dit pas que des points sont colinéaires, mais des vecteurs !
Ensuite pour là où tu t'es arrêté, tu sais écrire la forme générale d'un plan dans l'espace ?

[Isaac]

Vrai pour les vecteur et non des points colinéaires, j'ai mal recopié mais j'ai bien résolu avec des vecteurs, merci de cette remarque. Quant à la formule je ne la connais pas. Merci de ton attention.

[XENSECP]

Sans cette formule je vois mal comment tu veux faire... Enfin il y a des formules qui te donnerais "directement" le résultat mais ce n'est pas le but ici je pense...

Donc : ax+by+cz+d=0 est l'équation générale d'un plan... A toi de trouver a,b,c et d.

Bon je peux te dire déjà que tu les trouveras pas car tu auras que 3 équations mais en fait l'équation du plan que je viens de te donner est valable à une constante multiplicative près... donc tu peux considérer que l'équation précédente est équivalente à :

z = ax + by + c (avec a,b,c différents des précédents).

Voilà 3 constantes à déterminer... Un petit système à résoudre ;)

[Isaac]

Le système est-il le suivant ?

10a + 35b + 20c + d = 0
30a + 15b + 5c + d = 0
20a + 10b + 20c + d = 0

Comment le résoudre ?

[XENSECP]

Je t'ai dit d'utiliser l'autre forme du plan (z = ...) car sinon tu as trop d'inconnues (et ça ne change rien à la solution) !

De plus on cherche a,b,c fais gaffe dans le système que tu as mis ^^

[Isaac]

z = ax + by + c

20 = 10a + 35b + c
5 = 30a + 15b + c
20 = 20a + 10b + c

Encore faut-il le résoudre...

[XENSECP]

Système de 3 équations à 3 inconnues, ça tu sais faire ^^

[Isaac]

Je n'y arrive pas (du moins je ne pense pas). Tu vas te dire que je ne sais vraiment rien faire ! Cependant je trouve a = 0, b = 0 et c = 0.

[Isaac]

Autant pour moi.
a = - 1.25
b = - 0.5
c = 50

???

[XENSECP]

ca a l'air d'être ça ^^ Il suffit de remplacer dans toutes les équations et voir si c'est correct.

Bon ba tu as déterminer "une équation du plan ABC" ^^

[XENSECP]

Bon alors la suite il faut être astucieux ^^

Je réécris le plan :

1,25 x + 0,5 y + z = 50

Tu es d'accord que c'est strictement identique à :

0,25 x + 0,10 y + 0,20 z = 10

Tu peux donc conclure ;)

[Isaac]

L'équation du plan (ABC) (1°b) : 0.25x + 0.1y + 0.2z = 10

On déduit ainsi le prix de chaque friandise (1°c) :
Sucette : 0.25
Pâte de fruit : 0.1
[B] Chewing-gum : 0.2

[Isaac]

Si on passe au 2 : Emilie a dépensé 8.5, simple multiplication avec les prix trouvés. Mais après je ne sais pas comment m'y prendre pour prouver que le point E (10;20;20) est (ou non) dans le plan (ABC).

[Huppasacee]

Bonjour

Si un point appartient à un plan dont on connaît l'équation ,

en remplaçant dans l'équation x, y et z par les coordonnées du point , elle est satisfaite

c'est à dire que si

a xE + b yE + c zE = d
alors le point appartient au plan en question, sinon il est à l'extérieur.

[Isaac]

Ici je trouve : a xE + b yE + c zE = 8.5 et d est égal à 10 donc E ne doit pas faire partie du plan (ABC).

[XENSECP]

Désolé je t'ai momentanément laissé mais je vois qu'on s'occupe bien de toi ^^
Continue ainsi ;)

[Isaac]

Effectivement, tout le monde s'occupe bien de moins et ça fait plaisir et en plus j'avance !
J'en suis au 3 où il fallait que je trouve l'équation du plan (BCE). Pour ça j'ai fait le système suivant :
5 = 30a + 15b + c
20 = 20a + 10b + c
20 = 10a + 20b + c

J'ai alors trouvé a = -41/90 ; b = 53/45 ; c = 1 mais c'est faux !

Si quelqu'un réussit mieux que moi il est le bienvenu...

[Isaac]

Je suis vraiment bloqué dans la résolution de ce "foutu" système :

5 = 30a + 15b + c
20 = 20a + 10b + c
20 = 10a + 20b + c

Aidez-moi !!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Isaac]

J'ai trouvé !!! Fallait pas chercher loin :

a = -1
b=-1
c=50