Etude d'une fonction exponentielle

[Coquelicot]

Bonjour,
Je dois étudier la fonction f définie sur[0;1] par:

1) Dérivée f' de la fonction
e^{x-1}=>dérivée d'une composée de deux fonctions

(e^u)'=u'e^u
donc , cer (x-1)'=1

Ensuite,
(f)'=e^(x-1)(1+x)

Etude du signe
e^(x-1) est toujours positif x appartient à [0;1] donc pour tout x appartenant à [0,1], la fonction dérivée est positive et par conséquent f est croissante.

2) sens de variation f
toujours croissante

3)image des réels 0 et 1 par f
f(0)=0e^-1=0
f(1)=1e^0=1

4) Montrer que pour tout réel x de [0;1], 0<=f(x)<=x
Alors, là ça me semble évident, mais comment le démontrer

Pouvez vous me faire part de mes erreurs, SVp

Merci

[le_fabien]

Bonjour,
commence par étudier le signe de f(x)-x. :zen:

[Coquelicot]

Tu parle pour la dernière question et les autres, les réponses sont-elles bonnes?

[le_fabien]

Par contre pour montrer que f(x) superieur à 0 : c'est immédiat.

[le_fabien]

Tu parle pour la dernière question et les autres, les réponses sont-elles bonnes?

Oui je parlais de la dernière question,
les autres sont bonnes oui.

[Coquelicot]

Par contre pour montrer que f(x) superieur à 0 : c'est immédiat.

Oui, puisque pour tout x appartenant [0,1] , f(x)>=0 car f(0)=0
Sinon, si je fais comme vous me dites:

Si x=0, alors f(x)-x=0 et si x=1 alors f(x)-x=0 aussi

[le_fabien]

Oui, puisque pour tout x appartenant [0,1] , f(x)>=0 car f(0)=0
Sinon, si je fais comme vous me dites:

Si x=0, alors f(x)-x=0 et si x=1 alors f(x)-x=0 aussi

Non pas vraiment,
tu dois étudier plutôt le signe de pour x dans [0;1]

[Coquelicot]

Ah oui, je dois trouver sa dérivée pour ça, non?

[Coquelicot]

OK, merci beaucoup!
Pour la 2ème partie de mon exo, , on répartie les salaire d'une entreprise versés chaque mois par un indicateur d'inégalité de répartition salariale défini par:

Ou f(x) représente le pourcentage de salaires perçus par x% des salaires
But: déterminer le coefficient alpha dans le cas ou la fonction f est telle que

1) Donner une interprétation en terme d'aires, du coefficient alpha
2) Déterminer alpha en utilisant une intégration par partie.

Pour l'aire, nous avons bien un cours, mais pas d'exercices d'entrainement, alors je ne sais pas comment m'y prendre. :hum:

[le_fabien]

1) par définition cette integrale est égale à l'aire comprise entre les droites x=0 et x=1 et entre la droite y=x et la courbe y=f(x).

[Coquelicot]

Nous est-il juste demandé de représenter graphiquement l'aire?
C'est une question à 4 points, alors ça m'étonnerait qu'on nous demande que de représenter graphiquement!?

[le_fabien]

Nous est-il juste demandé de représenter graphiquement l'aire?
C'est une question à 4 points, alors ça m'étonnerait qu'on nous demande que de représenter graphiquement!?

Tu peux le représenter graphiquement aussi mais surtout écrire ce que je t'ai donné.
Mais je crois qu'il y a autre chose à dire, ce coefficient alpha me dit quelquechose , c'est un terme économique mais je ne me souviens plus.
Cela doit être dans ton cours.
Pour 2) il faut là calculer ton integrale.

[le_fabien]

j'ai retrouvé; le coefficient de Gini. ( c'est pas la boisson ) :ptdr:

[Coquelicot]

Oui, bah vous m'apprenez quelque chose. J'ai regardé sur mon cours et ils n'en font jamais allusion
Merci pour votre aide très précieuse