Un problème d'équation avec intégrale

[Mouss75]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un a une idée de la manière dont on peut s'y prendre pour résoudre l'équation suivante :


ou et sont respectivement la densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, avec un réel et une fonction de à trouver (c'est l'inconnue).

Lecas suivant est trivial ...mais pour ce qui est du reste...je suis ouvert à toutes les pistes.

Merci !

[nuage]

Salut,
est-ce que ce ne serait pas


ça faciliterait bien les choses.

Sinon je ne voit rien.

[Mouss75]

Bonjour,
et non, c'est bien là que se trouve tout le problème...

[XENSECP]

déjà écris en développant les fonctions ??

[Mouss75]

Bonjour,
Un développement de la fonction est possible effectivement :
*la densité proportionnelle à une exponentielle et la fonction de répartition comme une error function. Mais ça n'aide pas du tout
*développement en série entière. Je ne dis pas que ça ne s'arrange pas, mais l'expression reste selon moi inutilisable (pas de fonction classique)...

Donc oui développer c'est faisable, mais ça ne me sert à rien pour le moment...

[Mouss75]

Une piste rapide, mais qui ne me mène à rien pour le moment est de remarquer que l'on a presque une expression du type u'.u dans l'intégrale (au fait près que l'on a pas le lambda dans le u' ni lambda en facteur devant). Je ne vois pas comment utiliser cela, mais ça peut vous donner une indication ??

[Mouss75]

Bonsoir,

Non, vraiment, pas d'idées ?

[busard_des_roseaux]

idées ?

intégration par parties ?

[Mouss75]

Bonjour,

Oui, c'est une piste, mais l'intégration par parties directe n'aboutit pas. J'ai pensé à faire apparaitre phi(lambda x)/phi(lambda x) pour simplifier le problème et faire apparaitre une primitive "classique"...mais je tourne en boucle...

[nyafai]

Bonjour,
si X est la variable aléatoire qui suit la densité , on a :

= (la fonction de répartition est bijective)
= (définition de la fonction de répartition)
=

et à partir de la dernière égalité tu peux obtenir en fonction de :we:

[busard_des_roseaux]

re,

peut être une autre piste, mais c compliqué :hum:

posons




Il s'agit d'analyser comment est fonction de pour dériver:

on pose



d'utiliser la différentielle de Z et la dérivation sous le signe somme
pour obtenir une formule car s'arrange bien.


Par ailleurs car H est constante, vaut

[Mouss75]

Bonjour et merci pour cette piste !
C'est pas grave si c'est compliqué, si ça devait être simple on le saurait déjà !)

Alors en reprenant les notations voilà à quoi j'arrive :





ce qui après quelques lignes de calculs (derivée sous le signe intégrale, travail sur les exponentielles, ) donne l'équation différentielle non linéaire suivante




Je n'ai pas la moindre idée de la manière de résoudre une telle équation différentielle...la simplification
pourrait aider, mais oblige à considérer lambda grand ce que je ne tiens pas à faire.

Une information si ca peut aider (condition initiale ?) est que la limite quand lambda tends vers + (resp -) l'infini est le troisième (resp premier) quartile de la loi normale centrée et réduite.

Si ça donne des idées à quelqu'un...

[Mouss75]

Bonjour et merci pour cette piste !
C'est pas grave si c'est compliqué, si ça devait être simple on le saurait déjà !)

Alors en reprenant les notations voilà à quoi j'arrive :





ce qui après quelques lignes de calculs (derivée sous le signe intégrale, travail sur les exponentielles, ) donne l'équation différentielle non linéaire suivante




Je n'ai pas la moindre idée de la manière de résoudre une telle équation différentielle...la simplification
pourrait aider, mais oblige à considérer lambda grand ce que je ne tiens pas à faire.

Une information si ca peut aider (condition initiale ?) est que la limite quand lambda tends vers + (resp -) l'infini est le troisième (resp premier) quartile de la loi normale centrée et réduite.

Si ça donne des idées à quelqu'un...

re,

peut être une autre piste, mais c compliqué :hum:

posons




Il s'agit d'analyser comment est fonction de pour dériver:

on pose



d'utiliser la différentielle de Z et la dérivation sous le signe somme
pour obtenir une formule car s'arrange bien.


Par ailleurs car H est constante, vaut

[busard_des_roseaux]

re,

grâce aux théorème des fonctions implicites, on peut considérer que toute relation fonctionnelle s'inverse (au moins localement) et que la résolution
revient à trouver des différentielles exactes, même si les fonctions sont "biscornues".

l'équation se transforme un peu:



avec

[Mouss75]

re, merci !

C'est vrai que c'est plus joli, et le changement de variable rends bien compte de l'imparité de la fonction m.
reste à intégrer le rapport des deux fonctions de répartitions par rapport à u...par parties ça donne rien, et en faisant apparaitre des derivées du type Phi'/Phi c'est encore pire...pas de propriété de l'error function qui puisse nous aidé...un mur encore une fois !

[JJa]

Bonjour,

je modifie un peu ma conclusion précédente car, sauf erreur, l'intégration est possible. Mais on obtient quelque chose de relativement compliqué avec une fonction hypergéométrique.
Peut-être sera-t-il possible de simplifier ? J'en doute actuellement.
Quoi qu'il en soit je pense qu'on n'évite pas de passer finalement au calcul numérique.
La difficulté présente est que je ne sais pas comment joindre ma feuille de calcul sur ce forum (document éditée au format .gif).

[Mouss75]

Bonsoir,
Je pense que ce sera effectivement difficile d'éluder le calcul numerique, mais tant qu'à faire j'essaye de pousser les calculs le plus loin possible.
Je n'ai pas regardé dans les details comment passer de l'équation de bussard des roseaux à une fonction hypergeometrique. Tel que je le vois il doit cela doit découler du lien entre la fonction erreur (erf) et la fonction gamma. A ce moment là, il est vrai que même si la formule n'est pas explicite (ce genre de simplification par développement est forcément à double tranchant) elle sera au moins "propre" et pourra bénéficiée de toute les tabulations informatiques.

Pour ce qui est de la feuille de calcul, cela peut peut être se faire par message privé ou par mail ?

Merci,

[JJa]

Bonsoir Mouss75,

je vais essayer de t'envoyer la première page par la messagerie du site.
La page suivante n'est pas encore complètement dactylographiée, ce sera pour demain matin. En attendant, cela permettra de vérifier si tu es d'accord avec le début de mon calcul.
Par la même occasion je l'envoie aussi à busard_des_roseaux.
@+

[busard_des_roseaux]

re,



il ne reste plus qu'à trouver un facteur intégrant. :doh:

remarque sur le calcul diff

on peut voir la formule ainsi:
est une quantité qui dépend à priori de la quantité m
par la relation fonctionnelle . Ceci écrit, si m est une quantité qui dépend de manière composite,cachée et pour l'instant indéfinie, d'autres variables, qu'il n'appartient qu'à nous d'imaginer,la différentielle obtenue
sera proportionnelle à la différentielle par . Les quantités à différentier se comportent comme des boites noires dont les mécanismes internes peuvent être explicités ad infimum.

Ainsi, la fonte des neiges peut être fonction de la pente de la montagne,de la saison, des cours de Bourse si la volatilité est forte ou du rythme cardiaque du Dalaï-lama. Telle est la souplesse de la notion de fonction.

[Mouss75]

Re,

Je croix qu'il y a un problème de mésantante quand aux notations...
Ce que je note est la densité normale, dans vos notations c'est la fonction de répartition !!! Dans mon système la fonction de répartition est ...

On a donc plutot un rapport du type erfc/(erfc*exp) ce qui change la donne... :briques:
Et personnellement je ne connais pas de manière de traiter le rapport de deux erfc(.)


aie aie aie...