Bac blanc maths terminale

[Olyn]

bonjour,

j'ai actuellement cet exercice à faire en vue du bac blanc de maths et j'ai des difficultés à le résoudre, pourriez vous m'aider? merci

" Le but de l'exercice est de montrer que l'équation (E), admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution

PARTIE A - Existence et unicité de la solution

On note f la fonction définie sur par

1. Démontrer que x est solution de l'équation (E) si, et seulement si, f(x)=0

2. Étude du signe de la fonction f

a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur R

b) En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur R notée Alpha

c) Démontrer que Alpha appartient à l'intervalle [ 1/2 ; 1 ]

d) Étudier le signe de f sur l'intervalle [ 0 ; Alpha ] "


j'ai réussi la question 1 et 2a,b

mais je ne comprends pas comment faire pour la c et d, mon professeur m'a parlé de bijection mais je n'y ai rien compris

[XENSECP]

avec l'énoncé de la fonction ce sera mieux ?

[Olyn]

oups pardon, ça a pas recopié avec le bouton Copier.

f(x) = x-e^(-x)

et l'équation E : e^x = 1/x

[XENSECP]

Pour la c c'est effectivement une question de bijection, appelé "Théorème des Valeurs Intermédiaires" (crucial !!)
Relis le cours et puis on t'aidera ensuite ^^

[Olyn]

Je connais mon cours =)
soit I l'intervalle [a;b]
Si f est continue sur un intervalle I et strictement monotone sur cet intervalle alors quel que soit le réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k n'admet qu'une seule solution compris dans cet intervalle I.

[XENSECP]

T'en déduis la c) alors !!! Je comprends pas où est le pb ?

Quand je dis connaître son cours c'est les énoncés mais surtout savoir les appliquer :)

[Olyn]

euh donc si je suis mon énoncé, Alpha doit être compris entre f(1/2) et f(1)

Or f(1/2) = -0.1
f(1) = 0.6
et sûrement que f(alpha) doit être égal à 0 même si je ne vois pas comment?

[XENSECP]

Je suis consterné... Alpha c'est la solution de E que tu as démontré être équivalente à f(x)=0 !!!!!!

[Olyn]

Ah, d'accord, je vois maintenant.

d) Pour étudier le signe de f sur [ 0 ; alpha]

pour f(0) on a -1
pour f(alpha) on a donc 0.

et on sait que f est strictement croissante sur R,

donc sachant qu'on est sur des images -1 0, on en déduit que f est négative?