Récurrence et exponentielle

[alexjo59]

:we: bonsoir à tous
j'ai un petit exercice à résoudre :stupid_in
j'ai traité la première question entièrement mais en ce qui concerne la troisième (la récurrence) je ne vois pas comment me lancer
merci d'avance pour votre aide :id:

n désigne un entier naturel non nul
on considère la fonction fn définie sur 0 ; + l'infini par : fn(x) = ((x - n)/ (x + n)) - e ^(-x)
1) calculer fn'(x) et donner son signe sur o ; + l'infini
présicer fn(0) et lim quand x tend vers + l'infini de fn(x)
dresser le tableau des variations de fn
- j'ai traité toute cette première question
2) calculer fn(n) quel est son signe
- j'ai fait également la question deux
3) démontrer par récurrence que, pour tout n de N, e ^(n+1) est strictement supérieur à 2n+1
en déduire le signe de fn (n+1)

:id: merci encore pour votre aide ou votre petit coup de pouce que vous pourrez m'apporter :id:

[Sphinx]

Salut!
Si x>y,dans quels cas x*e>y+2?
(n+1)=1/(n+2)-
Ces questions sont censées te mettre sur la voie.
Bon courage!
Ciao!

[tigri]

récurrence pour e^(n+1) > 2^(n+1) :
1) on constate que la propriéyé est vraie pour n=0
en effet, e^(0+1)>2^(0+1) est vrai car e>2
2) on formule une hypothèse de récurrence:
pour k entier naturel, e^(k+1)>2^(k+1)
3) on démontre que la proproété reste vraie pour l'entier k+1
en effet e^(k+1+1)=e e^(k+1)donc d'après l'hyp de récurr,on obtient que
e^(k+1+1)>e 2^(k+1), et comme ona e>2, on en déduit que
e^(k+1+1)>2 2^(k+1), soit
e^(k+1+1)> 2^(k+1+1)
la propriété supposée vraie pour l'entier k se "transmet" donc à l'entier k+1
4) conclusion: la propriété e^(n+1)> 2^(n+1) est vraie quel que soit l'entier naturel n
voilà le plan d'une démonstration par récurrence !!