Orthocentre

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antoine3617
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orthocentre

par antoine3617 » 14 Déc 2008, 13:59

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à démontrer le théorème suivant :
Dans tout triangle non plat, les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit à ce triangle.

J'ai appelé H l'orthocentre, H1 H2 et H3 les 3 symétriques par rapport à (AB),(AC) et (BC), A' B' C' les 3 pieds des hauteurs issues de A, B et C , O le centre du cercle circonscrit.



ThSQ
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par ThSQ » 14 Déc 2008, 14:11

Regarde les angles et déduis-en que A,B,C,H1 sont cocycliques

antoine3617
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par antoine3617 » 14 Déc 2008, 14:34

ce n'est pas avec l'angle inscrit par hasard.


d'où
Les points sont donc cocycliques.

antoine3617
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par antoine3617 » 14 Déc 2008, 14:39

ce ne doit pas être bon tout ça car pour écrire cela, je considère que les 4 points sont déjà cocycliques.

antoine3617
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par antoine3617 » 14 Déc 2008, 20:25

bon alors voilà après de multiples tentatives, j'arrive uniquement à montrer que C,A,C',A' sont cocycliques, ce qui ne me convient pas. Si quelqu'un a une idée, merci de me la soumettre...

yos
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par yos » 14 Déc 2008, 20:31

Si H_1 est le sym de H par rapport à (BC) tu as
(CH_1,CB)=(CB,CH)=(AH,AB)=(AH_1,AB)

antoine3617
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par antoine3617 » 14 Déc 2008, 20:42

merci
Je suis arrivé dans ma preuve en utilisant le fait que (BC) est la bissectrice de l'angle C'CH_1 et en travaillant sur les angles à :
J'aurais donc dû utiliser à nouveau la bissectrice ici.
J'ai bien compris le principe maintenant.
A bientôt.

 

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