Commutant d'endomorphisme

[sue]

Bonjouur

je reviens avec un tit souci dans une partie d'un concours à propos du commutant d'endo :
voici le sujet :
ici
c'est à partir de la question III-4 que je perds un peu le fil ...
l'objectif de la partie c'est chercher les commutants (et leur dim ) d'un endo vérifiant la relation (1) :
-On décompose E en somme directe de et .
-On considère p_1 le projecteur sur // et le projecteur de // et On cherche à exprimer et sous forme des polynômes en u .
OK jusqu'ici !
Aprés il me semble qu'on cherche à décomposer u (vérifiant (1)) en somme d'un endo diag d et d'un endo nilpotent w d'indice 2 puisque les commutants de w et d (qu'on a déjà déterminé dans les parties I et II ) seront exactement ceux de u . OK!

Mais ce que je comprend pas : comment on a trouvé l'endo d ? d'où vient l'idée de prendre ?
et puis si vous pouvez me résumer la méthode suivie pour déterminer dimC(u) ...

Merci

[sue]

désolée il y a un prob avec le lien :triste:
en tt cas c'est le sujet de e3a maths 3 2002 vous pouvez le trouver ici

désolée encore mais j'arrive pas insérer le lien direct

[Maxmau]

Bj

Les coeff 1 et 2 de la relation d = p1 + 2p2 sont les racines
de l’annulateur (X-1)(X-2)² de u
Ils interviennent dans E1 = Ker(u-I) et E2 = Ker(u-2I)²
Ainsi si x est dans E1 : d(x) = x et w(x) = u(x) – x = 0
Si x est dans E2 : d(x) = 2x et w(x) = u(x) – 2x = (u – 2I)(x) , w²(x) = (u-2I)²(x) =0

On construit ainsi un endomorphisme diagonalisable d et un nilpotent w qui commutent et tels que : u = d +w

[sue]

OK!

Donc en général peut-on dire que : ? tq les sont les racines de l'anullateur .
ainsi on aura w = u-d endo nilpotent

[sue]

une autre question : en général que peut-on dire de l'indice de nilpotence de w ?

[yos]

J'ai pas regardé le sujet mais c'est manifestement la décomposition de Dunford d'un endomorphisme. Elle est unique, donc pour un endomorphisme nilpotent n, elle s'écrit 0+n, donc la partie nilpotente peut être n'importe quel endomorphisme nilpotent.

[sue]

ok !
on a pas vu ça en cours !
Mais dans le sujet on parle juste d'un endo qui vérifie la relation :
(u-id)o(u-2id)²=0 donc juste d'un polynôme anulateur alors que pour D. Dunford il faut que le minimal soit scindé ...

[yos]

(u-id)o(u-2id)²=0

Le minimal divise donc le minimal est scindé.

[sue]

oups :girl2:

Merci Yos