Exercice barycentre

[didine44]

Voici le sujet :
Soit ABC un triangle. D est le barycentre de (A.1)(B.2)(C.3). E est le barycentre de (A.2)(B.3)(C.1) et F est le barycentre de (A.3)(B.1)(C.2). Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.

Je n'arrive pas du tout à faire l'exercice, je ne vois pas comment commencer. J'ai transformé pour donner des égalités, voici ce que j'ai fait :

D=bar{(A.1)(B.2)(C.3)}
DA+2DB+3DC=O (tout ça en vecteur)

E=bar{(A.2)(B.3)(C.1)}
2EA+3EB+EC=0 (tout ça en vecteur)

F=bar{(A.3)(B.1)(C.2)}
3FA+FB+2FC=0 (tout ça en vecteur)

C'est tout ce que j'arrive à faire, aidez moi s'il vous plait.
Merci par avance.

Didine44

[aeon]

Soit G le centre de gravité de DEF, on a ...

[didine44]

je vois pas, désolée

[Florélianne]

Bonsoir,
Soit ABC un triangle. D est le barycentre de (A;1)(B;2)(C;3). E est le barycentre de (A;2)(B;3)(C;1) et F est le barycentre de (A;3)(B;1)(C;2). Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.
Pour nous simplifier l'écriture, je note u* le vecteur u

Je n'arrive pas du tout à faire l'exercice, je ne vois pas comment commencer.

Soit G le centre de gravité de DEF : GD*+GE*+GF* = 0*

J'ai transformé pour donner des égalités, voici ce que j'ai fait :
D=bar{(A.1)(B.2)(C.3)} DA*+2DB*+3DC*=O*
mais aussi GD*=[GA*+2GB*+3GC*]/6
(ceci est vrai pour tout point du plan, donc aussi pour le point G)
E=bar{(A.2)(B.3)(C.1)} 2EA*+3EB*+EC*=0*
GE*=[2GA*+3GB*+GC*]/6
F=bar{(A.3)(B.1)(C.2)} 3FA*+FB*+2FC*=0*
GF*=[3GA*+GB*+2GC*]/6

maintenant remplace par les valeurs en mauve...
calcule, tu devrais trouver le bon résultat!
Bon travail