Arithmétique

[Henry]

Bonjour,
pouvez vous m'aider à faire mon exercice d'Arithmétique.
Merci d'avance

Equation de Fermat (*) : x^2 + y^2 = z^2 où x,y,z appartient à N

1 . On note Si l’ensemble des solutions (x, y, z) de (*) telles que les seuls diviseurs communs à x,y et z soient – 1 et + 1 (on dit alors que les entiers x, y et z sont premiers dans leur ensemble ). Déterminez l’ensemble S des solutions de (*) en fonction de Si.

2 .Soit (x,y, z) appartient Si.
a) Montrez que x ou y est pair.

b) On supposera x pair. Prouvez que y et z sont impairs et premiers entre –eux.

c) Justifiez l’existence d’entiers naturels A et B premiers entre-eux tel que z-y = 2A et z+y = 2B. Et montrez que A et B sont des carrés parfaits.

[davidastic]

mon ami dit moi d'abord ta classe!!!!!!

[Henry]

Bonjoue, prépas pouvez vous m'aider s'il vous plaît?
merci

[sept-épées]

1°-prouver que x, y, z sont en fait premiers deux à deux

2°- montrer que deux de ces nombres sont impairs, l'autre pair

3°- en étudiant les nombres qui sont des carrés modulo 4, montrer que quitte à échanger x et y :

x est impair
y est pair
z est impair

4°-la suite plus tard

[yos]

) S est formé des triplets (kx,ky,kz) où k entier naturel et (x,y,z) dans Si. Une double inclusion à établir (facile).

2) a) Essaie avec x et y impair. Tu auras x²+y² congru à 2 modulo 4 ce qui est impossible pour un carré d'entier.

b) S'il y a 2 pairs parmi x,y,z alors le troisième aussi. Impossible car entiers premiers ds leur ensemble.
Idem si un nombre premier divise y et z, il divisera aussi x² donc x impossible.

c)parité de z-y et z+y...? Puis suppose que A et B ont un diviseur premier commun et cherche une contradiction.
2A2B=x²
AB=(x/2)²donc AB est un carré mais A et B sont étrangers donc...

[Henry]

Bonjour,

) S est formé des triplets (kx,ky,kz) où k entier naturel et (x,y,z) dans Si. Une double inclusion à établir (facile).

S est formé des triplets (kx,ky,kz) où k entier naturel et (x,y,z) dans Si. Mais après je ne comprends pas. De quelle inclusion parlez vous?
Pouvez vous être plus précis s'il vous plaît?

2) a) Essaie avec x et y impair. Tu auras x²+y² congru à 2 modulo 4 ce qui est impossible pour un carré d'entier.

Je n'ai pas le droit d'utiliser les congruences car ce n'est plus au programme, comment faire autrement?

b) S'il y a 2 pairs parmi x,y,z alors le troisième aussi. Impossible car entiers premiers ds leur ensemble.
Idem si un nombre premier divise y et z, il divisera aussi x² donc x impossible.

Je ne comprends pas, pouvez vous détailler s'il vous plaît?

c)parité de z-y et z+y...? Puis suppose que A et B ont un diviseur premier commun et cherche une contradiction.
2A2B=x²
AB=(x/2)²donc AB est un carré mais A et B sont étrangers donc...

Pourrais je avoir des précisions s'il vous plaît?
Encore merci