2=1

[leon1789]

Hé l'eau hé l'eau !

Voici une petite démo de 2=1 . Il s'agit d'algèbre linéaire "élémentaire" : cela se passe non pas dans un espace vectoriel sur un corps, mais dans un module sur un anneau (ce qui m'embête car ça peut faire peur...)

Notons A l'ensemble des suites réelles. Cet ensemble est muni canoniquement d'une structure d'anneau commutatif : on additionne et on multiplie deux suites terme à terme de manière naturelle. Les éléments neutres sont
-- la suite constante à 0 pour l'addition
-- la suite constante à 1 pour la multiplication.
Remarque : bien que toute suite possède une suite "opposée" pour +, certaines n'ont pas de suite "inverse" pour x (il est facile de caractériser lesquelles...), donc A n'est pas un corps, mais seulement un anneau commutatif.

De même B := AxA est muni d'une structure d'anneau commutatif (+ et x composante par composante).

Définissons une application f : A -> B qui envoie la suite s=(s_n) sur le couple (p,i) de ses deux suites extraites d'indices pairs p_n = s_(2n) et d'indices impairs i_n = s_(2n+1)

Cette application est compatible avec l'addition f(s+s') = f(s)+f(s'), et avec la multiplication f(s x s') = f(s) x f(s'), et f( 1..... ) = ( 1... , 1.... ) . De plus, elle est bijective et sa réciproque, "mélange" de deux suites en intercalant les valeurs (p,i) -> (p_0, i_0, p_1, i_1, p_2, ...) , possède les mêmes propriétés. Bref, f est un brave isomorphisme d'anneaux.

Bon, venons-en au fait !
-- un anneau est un module sur lui-même (tout comme K est un K-espace vectoriel lorsque K est un corps)
-- on sait que A est un A-module de rang 1 (tout comme K est un K-espace vectoriel de dimension 1 )
-- de même B est un B-module de rang 1
-- on sait que AxA est un A-module de rang 2 (tout comme KxK est un K-espace vectoriel de dimension 2 )

Ainsi AxA est un A-module de rang 2,
mais AxA est un B-module de rang 1,
Or A et B sont isomorphes en tant qu'anneaux , donc 2=1 ! :dodo: ça prend l'eau...



A vos commentaires, prêts, partez ! :zen:

[Timothé Lefebvre]

Tiens, regarde ça me fait penser à ce topic [url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=495912#post495912"]là[/url].

[Euler911]

Bonsoir,

Ça m'a l'air trop compliqué pour moi :triste:

[Sve@r]

J'ai abandonné à la 3° ligne (mais j'ai fait l'effort de tout lire :marteau: )

Mais en tout cas, je sais de façon certaine que si une démonstration donne 1=2, alors c'est que la démonstration se quiche quelque part. Car comme dit M. Spock dans le film Star Trek VI - Terre Inconnue, même la logique doit s'effacer devant la physique...

[Euler911]

Question: ça veut dire quoi A~B??

[SimonB]

Question: ça veut dire quoi A~B??

Qu'il existe un isomorphisme de A vers B.

Bon, au hasard (je n'y connais rien en modules), je dirais que ce n'est pas parce que A et B sont isomorphes qu'un module a même rang sur eux. Me trompé-je ? (Ou as-tu arnaqué tout le monde dans ton histoire d'isomorphisme d'anneaux : ce ne serait pas très gentil ? :we: )

[Doraki]

C'est pas un isomorphisme de A-modules parceque f(s.x) c'est pas s.f(x)

Bien trouvé, sinon !

[leon1789]

J'ai abandonné à la 3° ligne (mais j'ai fait l'effort de tout lire :marteau: )

oui, c'est ça qui m'embête : c'est le vocabulaire...

Mais en tout cas, je sais de façon certaine que si une démonstration donne 1=2, alors c'est que la démonstration se quiche quelque part. Car comme dit M. Spock dans le film Star Trek VI - Terre Inconnue, même la logique doit s'effacer devant la physique...

Sacré Spock...
Là, il n'y a rien à effacer, il y a juste une erreur à soulever.

Question: ça veut dire quoi A~B??

A isomorphe à B

J'ai corrigé dans le texte. Merci.

[leon1789]

C'est pas un isomorphisme de A-modules parce que f(s.x) c'est pas s.f(x)

Mais je n'ai pas dit que f est un isomorphisme de A-modules (c'est faux comme tu le signales) mais f est bien un isomorphisme d'anneaux entre A et AxA.

(Ou as-tu arnaqué tout le monde dans ton histoire d'isomorphisme d'anneaux : ce ne serait pas très gentil ? :we: )

pas d'arnaque de ce coté :we:

[leon1789]

Bon, au hasard (je n'y connais rien en modules), je dirais que ce n'est pas parce que A et B sont isomorphes qu'un module a même rang sur eux. Me trompé-je ?

En fait, quand on dit que A et B sont isomorphes, on pourrait presqu'aller jusqu'à dire que A = B ! En effet se donner une suite N->R ou se donner ses deux sous-suites d'indices impairs et d'indices impairs, c'est vraiment pareil ! C'est un peu comme si on disait {entiers naturels} = {nbres pairs} {nbres impairs} :id:

[Doraki]

Mais je n'ai pas dit que f est un isomorphisme de A-modules (c'est faux comme tu le signales) mais f est bien un isomorphisme d'anneaux entre A et AxA.

Certes mais il faut que c'en soit un si tu veux pouvoir dire que le rang de AxA comme A-module (à savoir 2) est le même que celui de f(A) = A comme A-module (à savoir 1).

Enfin bon tu précises évidemment jamais la structure de A-module dont tu parles quand tu parles de rang.

[leon1789]

Enfin bon tu précises évidemment jamais la structure de A-module dont tu parles quand tu parles de rang.

Certes, mais je pense aux structures habituelles, comme dans le cas des K-esp. vect. K et K²

Bon, au hasard (je n'y connais rien en modules), je dirais que ce n'est pas parce que A et B sont isomorphes qu'un module a même rang sur eux.

oui, et plus précisément, comme dit Doraki :

Certes mais il faut que c'en soit un si tu veux pouvoir dire que le rang de AxA comme A-module (à savoir 2) est le même que celui de f(A) = A comme A-module (à savoir 1).

oui ok.

Ma manière d'expliquer le problème (c'est le "donc 2=1" final qui est faux, tout ce qui précède est juste) :
un isomorphisme d'anneaux f entre A et B ne suffit pas dans l'emploi qu'on en fait ici, à savoir "monter" par-dessus deux structures de modules sur A et sur B et prendre les rangs. Pour que les choses se passent bien, il faut que cet isomorphisme f soit compatible avec les structures de A-module et B-module. Ici, ce n'est pas le cas : pour , et , on n'a pas .

Comme dit Doraki, si f était A-linéaire, ça irait car on aurait .

Bon, un peu technique tout ça, c'est dommage. Mais bon, c'est autre chose qu'une division par 0 ou un oubli de valeur absolue :id:

[Joker62]

Et en plus c'est une jolie construction :)
Moi ça me plaît :)

[leon1789]

Enfin bon tu précises évidemment jamais la structure de A-module dont tu parles quand tu parles de rang.

Je précise "bien" les deux structures, mais le problème vient effectivement de la confusion de ces deux structures. En fait, j'ai muni AxA de deux structures de A-module différentes, plus précisément les lois externes ne sont pas les mêmes :

-- la structure canonique habituelle, , qui en fait un A-module de rang 2

-- une structure tordue par f ( intermédiaire par f(A)=B , ) , qui donne , qui en fait un A-module de rang 1

La conclusion "donc 2=1" est fausse car le rang d'un module dépend des lois dont il est muni (ça paraît un peu bêbête dit comme ça).

Si f était A-linéaire (en plus d'être un bon morphisme d'anneaux), alors les deux lois externes seraient les mêmes : f(a).V = a.f(1).v = a.1.V = a.V et il n'y aurait pas de problème, on retrouverait le même rang :zen:


Question : peut-on fabriquer un exemple plus compréhensible (c'est mieux quand tout le monde s'amuse...) sur un corps K, où on munirait K^n d'une structure tordue par un automorphisme f de K (comme je l'ai fait dans cet exemple de module), de telle sorte que K^n soit de dimension différente de n ? Est-ce possible ??

[jeancam]

n y a t il pas du paradoxe chez un ennemi du raisonnement par l absurde qui démontre que 2=1 ?lolilola

[jeancam]

petit jeu
quelqu un prononce une absurdité (plausible ou pas) et celui qui gagne celui qui abouti à deux egal un de façon naturelle (c est à dire sans dire A faux et le faux implique le faux donc 2=1)
donc pas de triche à moins d'une solution canonique particulierement "elegante".