Spé Exercice synthèse

[Elnorth]

Bonjour,
J'ai tenté de faire un exercice de synthèse mais je ne le comprends absolument pas. Voici l'énoncé et mes hypothèses :

a) E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } Determiner les paires {a,b} d'entiers de E (distrincts ou non) tels que ab = 1 (11)

Pour le 1, j'ai fais quelque chose de tout simple : j'ai pris la formule suivante :
ab = 11*q + 1 et je trouve facilement toutes les solutions que j'ai décomposé en facteurs appartenant à E.

12 = 2 * 6, 3 * 4, 6 * 2 ...

Donc, ici tout fonctionne.

2) Soit n un entier naturel supérieur à 3.
a. L'entier (n-1)!+ 1 est-il pair ? Est-il divisible par un entier pair ?
Rep : (n-1)! avec n > 3 : (3-1)(4-1)(5-1)(6-1) ... (n-1) or 3-1 = 2 donc, (n-1)! est un nombre pair. D'où (n-1)!+1 est un nombre impair puisque la somme d'un nombre pair et 1 est un nombre impair.

b. Prouver que (15-1)! + 1 n'est pas divisble par 15. L'entier (11-1)!+1 est-il divisble par 11 ?

3) Le but de cette question est de démontrer que : si un entier nature p (p >= 2) est tel que (p-1)!+1 = 0 (p) alors p est premier
Soit p un entier naturel non premier (p >=2)

a) Prouver que p admet un divisteur q (1 < q < p) qui divise (p-1)!

b) L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
L'entier p divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?

c) Conclure

Toute la partie finale est incomprise. A partir de la question 2b), je sèche sur la réponse. Avec la calculatrice, on voit si c'est vrai / ou faux, mais pour démontrer ... Si vous avez des pistes ...

Merci d'avance ^^

[Galt]

Pour prouver que (15-1)!+1 n'est pas divisible par 15, on peut déjà se demander ce que vaut (15-1)!=14!=1*2*3*4*5...*14. On s'aperçoit que ce nombre est un multiple de 15 puisque ?
Et si on lui ajoute 1, forcément, ça ca mal se passer.
Pour (11-1)!+1=10!+1, on peut remarquer que 10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10.
Or 2*6=12 est congru à 1 modulo 11
4*3=12 est congru à 1 modulo 11
5*9=45 est
7*8=56 est
Soit finalement 1*2*3*4*5*6*7*8*9 est congru à 1 modulo 11
Donc 10! est congru à 10 modulo 11
et 10! +1 ?
Pour le 3, je le fais dans quelque temps
A +
Galt

[Elnorth]

Je venais de le trouver il y a 5 minutes :hum: C'était vraiment simple et j'ai cherché complication avec des a, b, c ^_^. Merci quand même (ça me fait une petite verification).

Par contre, pour le 3, je ne vois pas comment faire, enfin pas du tout comment démarrer. Prouver ça veut dire montrer qu'il existe q tel que q divise (p-1)!. J'hésite à poser bêtement :

Si p > 2, (p-1) > 2, donc (p-1)! multiple de 2 donc il existe bien q diviseur de (p-1)!

Mais niveau de la rédaction ça ne me convient pas.

[mathos86]

Question 3

Soit p un entier naturel non premier (p >=2)

a) Prouver que p admet un divisteur q (1 < q < p) qui divise (p-1)!

p admet un divisteur q avec 1 < q < p car p n'est pas premier
(p-1)! est le produit des entiers supérieurs à 1 et inférieur à p
donc q divise (p-1)!

b) L'entier q divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?
L'entier p divise-t-il l'entier (p-1)!+1 ?

q ne divise pas (p-1)!+1 puisque (p-1)!+1 est congru à 1 modulo q

si p était un diviseur de (p-1)!+1 alors tous les diviseurs de p seraient diviseurs de (p-1)!+1 donc l'entier p ne divise pas l'entier (p-1)!+1

c) Conclure
si p n'est pas premier alors p ne divise pas (p-1)!+1 ; en contraposant
si p divise (p-1)!+1 alors p est premier

[Elnorth]

ça me semble correct.

Par contre, je n'arrive pas à voir comment vous faites pour avoir autant "d'idées". J'entends par là que les cours n'apprennent pas à avoir un tel cheminement. Vous pourriez exposer brièvement votre technique de raisonnement ? (enfin, je veux pas dire par rapport à l'exercice, mais plus dans le vague)

J'ai l'habitude de chercher dans mes connaissances et d'appliquer. Mais en voyant vos solutions, il doit y avoir des méthodes plus efficaces.

Voilà voilà ^^

[Galt]

En fait, les idées viennent essentiellement de l'expérience passée. J'ai cherché un exercice analogue, j'ai rencontré une situation similaire, et j'ai trouvé à ce moment une méthode que j'applique à cette situation. Plus on en fait, plus ça devient facile.
De plus, il se trouve que j'ai posé ce matin cet exercice à mes élèves, donc j'avais quand même en tête la méthode à appliquer (j'avoue, j'ai triché)
Il ne faut pas te décourager, l'expérience vient naturellement avec le travail. On ne l'a pas en naissant.
Bonne continuation
Galt