Projection stéréographique généralisée

[Cherrys]

Bonjour à tous

Je cherche à montrer qu'une projection stéréographique preserve les cercles généralisés.

Il est facile de voir que le cercle passant par le nord sont envoyé sur une droite, mais je n'arrive pas a montrer qu'un cercle ne passant pas par le nord est envoyé sur un cercle de ...

Ce que j'ai fait pour l'instant c'est ca:

Je définit le cercle comme étant l'intersection d'un cercle avec un plan. J'ai donc un plan et l'intesection avec S^n me donne avec d<1 et .

Je considère ensuite un point p dans l'image du cercle, donc sa préimage est , je l'injecte dans la parametrisation du cercle juste au dessus, et je trouve qu'on a la propriété . J'aimerait montrer que l'ensemble des points ayant cette propriété représente un cercle de R^n... mais je planche... Je ne vois pas comment donner la paramètrisation d'un cercle quelconque de R^n...
Est-ce que vous auriez une idée pour continuer le raisonnement?

Je sait qu'il est possible de montrer cette préservation de cercle en passant par les application de möbius, mais c'est un domaine que je ne maitrise pas du tout :S

Merci d'avance pour votre aide!


ps: ah et je voudrait savoir aussi si la propriété de préservation des cercle peut etre généralisée a une préservation de sous sphères, où une sous sphère est l'intersection d'un hyperplan avec la sphère. Parce que j'ai du mal a visualiser^^

[emdro]

Va voir ici les films très instructifs et très beaux sur la projection stéréographique entre autres:


La démonstration que tu cherches y est donnée au chapitre 9.

[Cherrys]

Bon bein je viens de regarder toutes ces video, alors c'est joli et interessant, mais ca ne réponds pas du tout à ma question...

Démontrer que les cercles sont préservés par projection stéréographique de S²->R², c'est pas un problème...

Ce que je cherche à montrer, c'est de S^n->R^n, et que les hypersphères sont preservées. Ou à la limite, si c'est trop compliqué, de montrer que les cercles sont preservés.

[busard_des_roseaux]

Bjr,

tu as essayé avec les angles ? un cercle est un ensemble de points d'où l'on voit un segment sous un certain angle , il me semble que la projection stéréographique est conforme.

[Cherrys]

Je ne vois pas du tout ce que tu veux dire par le fait de voir un segment sous un meme angle :S

Mais effectivement la projection stéréographique est conforme, mais etre conforme suffit (du moins il me semble) pour affirmer qu'une hypersphère est envoyée sur une hypersphère. Mais il me faudrait prouver que la projection stéréographique généralisée est conforme. Mais je ne suis pas du tout a l'aise avec le notion de conformité d'une application :(

[Doraki]

Une équation comme || p ||² + a . p + b = 0 est bien l'équation d'un cercle.
|| p ||² = p.p donc ça te fait :
0 = || p ||² + a . p + b = (p+a) . p + b = (p+a/2) . (p+a/2) - a.a/4 + b = ||p+a/2||² + (b - ||a/2||²)
Donc c'est un cercle de centre -a/2 et de rayon racine de (||a/2||²-b).

Et dans le cas où t'as n_n = d ça dégénère et ça donne l'équation d'une droite.

[Cherrys]

Une équation comme || p ||² + a . p + b = 0 est bien l'équation d'un cercle.
|| p ||² = p.p donc ça te fait :
0 = || p ||² + a . p + b = (p+a) . p + b = (p+a/2) . (p+a/2) - a.a/4 + b = ||p+a/2||² + (b - ||a/2||²)
Donc c'est un cercle de centre -a/2 et de rayon racine de (||a/2||²-b).

Et dans le cas où t'as n_n = d ça dégénère et ça donne l'équation d'une droite.

Magnifique, ça débloque tout ce qui me posait problème! Et je pense même pouvoir généraliser au cas d'une hypersphère, merci beaucoup!!

[Doraki]

j'aurais pas du dire cercle mais hypersphère
Parceque là c'est l'image par la projection de l'intersection de S^n avec un hyperplan de R^n+1. C'est homéomorphe à S^(n-1), et pas à un cercle usuel (S^1)

[busard_des_roseaux]

j'aurais pas du dire cercle mais hypersphère

oui, le vocabulaire de l'énoncé n'est pas très précis. Est-ce qu'un sous-ensemble de , réalisant
pour la restriction du produit scalaire usuel de
donne une image semblable dans
par projection stéréographique ? c'est ce genre de choses que l'on doit démontrer ?

[Cherrys]

Hum, en fait, j'ai un problème:

Ma k-sous-sphère de Sn est donc paramètrisée par l'intersection d'un hyperplan de dim k+1 et de Sn. La codimention de l'hyperplan est n+1-(k+1)=n-k, on a donc n-k equation de la forme ni . z +ni_n+1 t=di (un point de Rn+1 est noté (z,t) avec z dans Rn, t dans R).

En considèrant un point de l'image de ma sous-sphère, et en bidouillant un peu le tout comme l'as fait Doraki, je me retrouve avec n-k equation de la forme ||p+ai||²=bi... Est-ce que c'est ça la définition d'une sphère de Rn qui n'est pas centrée en l'origine?


edit: en fait, c'est bon, j'ai donc que la projection de ma sous-sphère est l'intersection de l hypersphères de dimentions n-1, ce qui me donne une hypersphère de dimention n-l=k et c'est fini :)