Probleme de topologie

[yutor]

BONJOUR,

est-il vrai qu'un espace topologique qui possède moins d'ouverts et de fermes a plus de compacts. ( je pense au dual d'un espace de banach).

merci d'avance.

[Fract83]

Hello,

Je vais peut etre dire une betise, mais je ne suis pas convaincu...

Si un espace a "beaucoup" de compacts, il a necessairement au moins "autant" de fermes (puisque partie compacte => partie fermee et bornee) ! Donc, je pense qu'un espace ne peut pas avoir "beaucoup" de compacts et peu de fermes...

Par contre, pour les ouverts, je serais tente d'etre d'accord, sous reserve de travailler dans un espace raisonnable (du genre un espace connexe, ou il n'y a pas de parties a la fois ouverte et fermee).

Bonne journee.

[yutor]

je te remercie pour ta réponse.

[yos]

fermé= complémentaire d'ouvert (donc autant de chaque).

Peu d'ouverts entraine mise en oeuvre aisée de la propriété de HBL (De tout recouvrement ouvert, on peut extraire un rec fini) donc précompacité fréquente a priori. A l'extrême, la topologie grossière (E,vide) fait que toute partie est précompacte. Par contre pour la compacité, il faut un espace séparé et pour ça, il faut pas mal d'ouverts.

[quinto]

fermé= complémentaire d'ouvert (donc autant de chaque).

Peu d'ouverts entraine mise en oeuvre aisée de la propriété de HBL (De tout recouvrement ouvert, on peut extraire un rec fini) donc précompacité fréquente a priori. A l'extrême, la topologie grossière (E,vide) fait que toute partie est précompacte. Par contre pour la compacité, il faut un espace séparé et pour ça, il faut pas mal d'ouverts.

Enfin tout ceci est relatif encore une fois.
Celà étant, puisque la topologie forte est plus fine que la topologie faible, elle a nécessairement plus d'ouverts et moins de compacts.

Si tu ne te souviens plus dans quel sens ca marche, rappel toi du théorème de Banach-Alaoglu.
A+