Spé Maths - PGCD

[Eurékagathe]

Bonjour!
J'ai quelques petits problèmes ac un exercice de Maths, sur les PGCD.
En fait on a a = 7n+20 et b = 2n+7.
Sachant que: 2n+20 = 3(2n+7)+(n-1)
et : 2n+7= 2(n-1)+9
Il faut en deduire que PGCD(a;b) = PGCD (n-1;9)
Donc si vous voyez quelle relation permet de dire ca, ej serais ravie d'avoir quelques tuyaux!
Merci d'avance!

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:


Essayons de montrer que D|d et d|D ce qui nous permettra de conclure que D=d :

1)

Comme , par définition,
Ainsi D divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres et en particulier :


En utilisant ce dernier résultat, on peut encore écrire :

Finalement,
donc :

2)
d étant le PGCD de a et b, il divise de même toute combinaison linéaire de ces deux nombres.
Ainsi :

Avec ce dernier résultat :

On a prouvé
En on conclut :

3) Conclusion :
et en en déduit comme prévu

[Eurékagathe]

Merci beaucoup Nightmare! Je n'avais pas du tout penser à faire ce raisonement! J'y penserai à l'avenir, ca m'évitera bien des prises de têtes! :marteau:
En tout cas merci beaucoup, et BONNE ANNEE!!!

[Nightmare]

Bonne année à toi aussi :++:

[Chimerade]

Soit d un diviseur commun à n-1 et à 9 ; puisque 2n+7=2*(n-1)+9, d divise 2n+7. Tous les diviseurs communs à n-1 et à 9 divisent 2n+7 et n-1 !
Soit d' un diviseur commun à 2n+7 et à n-1. Comme 9=2n+7-2*(n-1), d' divise 9. Donc tous les diviseurs communs à 2n+7 et à n-1 divisent 9 et n-1.
Par conséquent la liste des diviseurs communs à 2n+7 et à n-1 est la même que la liste des diviseurs communs à 9 et à n-1. Le plus grand nombre de cette liste est donc à la fois PGCD(n-1;9) et PGCD(2n+7,n-1).

Tu n'as qu'a continuer :

Soit d un diviseur commun à 2n+7 et à n-1. Comme 7n+20 = 3(2n+7)+(n-1), d divise 7n+20,...

[Eurékagathe]

Merci pour ta reponse Chimerade. J'ai pioché des elements par ci par la dans vos messages, et au moins je comprend ce que je fais, y'a du progrès! Donc merci!