Continuite d'une fonction

[badola]

Etudier la continuite de la fonction f definie sur R par
f(x)= x si x est irrationnel,
f(x)= p sin( 1/q) si x= p/q avec p, q premiers entre eux.
Je peux montrer facilement que la fonction est continue en 0 et discontinue sur mais pas si sur si la fonction est continue ou discontinue sur .

Je ne suis pas sur que pour tout irrationnel,pour un suffisamment petit, l'intervalle contient seulement un nombre fini de rationnels de la forme y=p/q avec q large.

[mathelot]

bonjour,

quelques remarques:

- graphiquement l'équation n'a que la solution

- Les rationnels sont limite d'irrationnels:


Pour une famille de fractions irréductibles
avec , cette famille est dense ou a un point
d'accumulation irrationnel seulement si les dénominateurs ne sont pas
majorés.
Autrement dit, si les dénominateurs sont majorés , la famille est un
ensemble discret et n'a pas de points d'accumulation irrationnel.


pratiquement:
le produit des deux premiers facteurs a pour limite 1.
f est donc continue sur les irrationnels.