Variables aléatoires

[jeje56]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant :

Un tram passe toutes les 5 minutes à une station A entre 6h et 9h du matin. Un individu fait l'hypothèse que son instant d'arrivée à cette station se situe entre 7h55 et 8h05 et qu'il suit une loi uniforme. Quelle est la probabilité que l'individu attente moins de 2 minutes le tram ?

Je pose X la VA qui donne l'instant d'arrivée en A et Y la VA qui donne le temps d'attente : le but est de calculer ...

Est-ce un bon départ ? Je vois aussi des probas conditionnelles mais je n'arrive pas à mettre en forme...

Merci bcp de votre aide !

[seriousme]

Plus généralement :
soit l'intervalle d'arrivée de l'individu,
soit la suite des horaires d'arrivée du tram,
soit la suite des instants d'arrivée de l'individu.
soit le temps d'attente,
soit ,
soit la mesure de Lebesgue sur .



Ici :


De manière informelle : il faut multiplier la largeur totale de tous les intervalles de temps se situant à moins de deux minutes de l'arrivée du prochain tram par la densité de probabilité d'arrivée en chaque instant de ces intervalles : comme la loi suivit par l'instant d'arrivée de l'individu est uniforme cette densité est constante et vaut l'inverse de la largeur de l'intervalle de temps d'arrivée de l'individu [7h55, 8h05].

[jeje56]

Merci pour ta réponse.

Préparant le Capes, la théorie de Lebesgue n'est pas au programme... Y-a-t-il une résolution sans l'intervention de ?

Par définition : non ?...

J'avoue ne pas bien comprendre la démarche...

Merci bcp de votre aide !

[jeje56]

Personne ?...

[seriousme]

En effet une autre façon de procéder :


Car la densité de probabilité de l'attente est constante : la probabilité que l'individu arrive à un instant donné dans l'intervalle [0, 5] est uniforme.
Donc la probabilité qu'il arrive exactement à 1,2 ou 3 minutes de l'arrivée du tram est la même.

Ou plus simplement :
soit l'expérience consistant à mesurer l'intervalle de temps d'attente de l'individu,
l'ensemble des événements élémentaires est ,
l'événement "moins de deux minutes" est donc : ,
pour mesurer les intervalles on utilise la mesure de Lebesgue sur : ,
la probabilité de se trouver dans l'intervalle est donc :