Corps et puissance 4

[kantor]

Bonjour :we:

J'ai F un corps fini avec plus de 9 élements dedans.
Je cherche a montrer qu'aucun sous-corps propre de F contient les puissances
quatrièmes de tous les éléments de F.

Une idée?

[Roman]

Bonjour,

Aucun autre sous-anneau que F j'imagine ?

Roman

[kantor]

Bonjour,

Aucun autre sous-anneau que F j'imagine ?

Roman

Ca me parait clair !

[Roman]

Pas moi: F est trivialement un sous-anneau de F...

Donc ta proposition aucun sous-anneau de F contient les puissances
quatrièmes de tous les éléments de F est fausse sans cette precision...

Si tu commences pas par exclure les cas pathologiques, ils peuvent te retomber dessus apres !

Et tu remarqueras qu'en plus, exclure ce cas donne une idee de demo par l'absurde: prend un sous anneau qui n'est pas F, et essaye de conclure....

[kantor]

le sous anneau F est un cas trivial sans grand interet.

Pour la démo par l'absurde, c'est évident qu'il faut faire comme ça !
Si je pose la question c'est que je n'ai pas trouvé la contradiction !

[ThSQ]

Pour la démo par l'absurde, c'est évident qu'il faut faire comme ça !

Ca va faire des heureux ....

Par contre ça peut être utile de préciser que tu te places dans le cas unitaire (anneau et sous-anneau unitaires) sinon c'est faux.

Dans le cas unitaire (probable ici) il ne reste que le cas des anneaux avec 4 ou 8 éléments, les autres sont bien connus.

[kantor]

Dans le cas unitaire (probable ici) il ne reste que le cas des anneaux avec 4 ou 8 éléments, les autres sont bien connus.

J'ai bien précisé que F avait plus de 9 éléments, et non moins ?
Je ne comprend donc pas ta remarque :/

[Roman]

Sans revenir sur les lacunes de ton probleme recopie a la vas vite (anneau unitaire ou pas, sous-anneau strict...),

Si je pose la question c'est que je n'ai pas trouvé la contradiction !

Dis nous ce que tu as deja essaye ?

[kantor]

Sans revenir sur les lacunes de ton probleme recopie a la vas vite (anneau unitaire ou pas, sous-anneau strict...),

Voici, mot pour mot, le problème tel qu'il est écrit:
"Let F be a finite field with more than 9 elements. Prove that no proper subfield of F contains the fourth power of every element of F".

J'avais effectivement oublié de signaler qu'il devait s'agit de sous anneau propre, mais cela on s'en doutait. Quant a l'unité ce n'est pas précisé dans le sujet.

[R.C.]

Bonjour,
juste une petite precision, un field c'est un corps.

[abcd22]

Bonjour,
F est donc un corps à p^n éléments, avec p premier. Soit K un sous-corps de F qui contient toutes les puissances quatrièmes des éléments de F. Compare le cardinal de K à celui de F (il y a une égalité qui utilise uniquement le fait que K est un sous-corps de F, et une inégalité qui utilise le fait qu'il contient toutes les puissances quatrièmes).

[ThSQ]

finite field

Comme dit field = corps et pas anneau (= ring) ............

[kantor]

Je viens de m'apercevoir de l'erreur. Mes excuses

[kantor]

une inégalité qui utilise le fait qu'il contient toutes les puissances quatrièmes

Voila justement je ne trouve pas cette inégalité

[abcd22]

Combien d'éléments de F peuvent avoir la même puissance quatrième, au maximum ?

[kantor]

Combien d'éléments de F peuvent avoir la même puissance quatrième, au maximum ?

Je pense au maximum 4

[abcd22]

Donc on peut minorer le cardinal de K...

[kantor]

Donc on peut minorer le cardinal de K...

|K| >= p^n / 4 ?

[abcd22]

Oui mais ce n'est pas encore suffisant pour conclure, de quelle forme peut-on écrire |K| sachant que |F| = p^n et K est un sous-corps de p^n ?

[kantor]

Oui mais ce n'est pas encore suffisant pour conclure, de quelle forme peut-on écrire |K| sachant que |F| = p^n et K est un sous-corps de p^n ?

Oui je crois que |K| = p^m avec m divisant n...