Groupes opérant,orpite et stabilisateur

[anouar437]

slt tt le monde

resumé

définition: on dit qu'un groupe opère à gauche sur un ensemble E ssi
I-klksoi g dans G f(g): xdans E |--> f(g)(x)=gx dans E est bien une action définie
II-f(e)(x)=x pour tt x dans E ( e= élément neutre de G)
III- pour tt (s,t) dans G f(st)(x)=(st)x=s(tx)=f(s)(tx)= f(s)f(t)(x)

orbite(x) noté orb(x)={ y/ il existe g dans G, y=gx}
on dit que l'action est transitive ssi orb(x)=E

stabilisateur(x) noté stab(x)={ g dans G /g(x)=x pour tt x dans E}
stabilisateur(x) est toujours un sous groupe de G pour tt x dans E

[anouar437]

voila un exemple

on considère l'ensemble
E=S^n= { x= (x1,...,xn,x(n+1)) / ||x||= (x1)² + ...+(x(n+1))²=1}
soit G le groupe O(n+1)
1:montrer que G opère sur E
2:calculer stabilisateur de x, x=(1,0,...,0) noté stab(x0)
3: est ce que l'action est transitive??
en effet
pour monter que G opère sur E d'abord on a bien G un groupe
(sinon je sais pas quoi dire si G n'était pas un groupe) soit f l'application définie par
klksoi g dans G f(g): xdans E |--> f(g)(x)=gx dans E

il faut montrer que f(g) est définie pour tt g dansG ??
||f(g)(x) ||=||gx|| =< gx,gx > =
=< x, g^-1.gx>==1 donc on a bien f(g)(x) dans E
f(In+1)(x)=x
reste de montrer que pour tt s,t dans G on a (st)(x)=s(tx) pour tt x dans E

[anouar437]

stab(x0)={g dans O(n+1) /gx=x }
on pose g comme matrice dans O(n+1) utilisant l'égalité gx=x et le faite stab(x0) est un sous groupe de G on obtient
stab(x0) groupe des matrices de O(n+1) tel que dans le premier ligne et premier colonne on a 1 et le reste des composantes de premier ligne et premier colonne nul
il aurra une sous matrice B dans O(n)
stab(x0)=O(n)

[anouar437]

conclusion s^n = O(n+1)/O(n) = SO(n+1)/SO(n)

[anouar437]

question 1:
" pour monter que G opère sur E d'abord on a bien G un groupe
(sinon je sais pas quoi dire si G n'était pas un groupe) "
pourquoi G doit étre un groupe ???


question 2:
" il faut montrer que f(g) est définie pour tt g dansG ??
||f(g)(x) ||=||gx|| =< gx,gx > =
=< x, g^-1.gx>==1 donc on a bien f(g)(x) dans E "
pourquoi vous avez < gx,gx > = ???


question 3:
" orb(x)={ y/ il existe g dans G, y=gx}
on dit que l'action est transitive ssi orb(x)=E "
pour une action transitive il suffit de verifier pour un seul élément x ou bien pour tt les éléments de E que stab(x)=E


question 4:
dans ce cas que peut on dire sur l'action transitive ou non ??


question 5:
pourquoi stab(x0)=O(n)

derniere question c'est la conclusion que je ne comprends pas

[Nuwanda]

1-tu vérifie que la multiplication par une matrice orthogonale envoie Sn sur Sn, que l'identité ne change rien, et que tout est bien associatif...

2-si g stabilise (1,0,...), dans sa matrice tu mets un 1 en haut à gauche et des 0 dans le reste de la colonne, ailleurs tu mets ce que tu veux, sauf que ta matrice est orthogonale du coup ce qui reste en bas à droite est orthogonal de dimension n-1...

3-Peut-on trouver une isométrie qui envoie un point de la sphère sur un autre ? Oui bien sûr, une rotation bien choisie par exemple. Du coup l'action est transitive.