Arithmétique

[Hao]

Bonsoir,

J’ai deux exercices où je ne me debrouille plus...


Exo1:

Déterminer les x appartient à Z tel que:

x ;) 1 mod 5
x ;) 3 mod 8
x ;) 6 mod 9

J'ai commencé avec pgcd(5,8,9)=1 et j'ai essayé avec le théorème chinois mais le problème c'est que le théorème chinois marche seulement avec 2 équation...
J'ai essayé ensuite avec toutes les possibiltés et je suis arrivé à x=51 mais bon.. c'est pas vraiment très intélligent. Si quelqu'un a une idée pour une système sympa ^^?



Exo 2:

Pour tout n appartient à N, montrer que l'entier

3^(3n+3) - 26n - 27

appartient à N et est divsible par 676=2^2x13^2.

J'ai essayé avec une démo par récurrence mais je suis bloqué après.. voici:

3^(3n+4) - 26n - 53 est divsible par 676

donc on doit montrer que 3^(3n+4) - 26n - 53 ;) 0 mod 2^2x13^2
et ici je n'arrive plus à faire....


Cordialement,
Hao

[R.C.]

Bonsoir,
Pour le 1e exo, le th chinois c'est tout ce qu'il faut. Il ne s'applique qu'à deux eq? Qu'à cela ne tienne : appliques le d'abord aux deux premières ca t'en donnera une modulo 40, puis à cette dernière et à la dernière, ce qui t'en donnera une modulo 9x40.
Pour le 2e exo, attention, 3^(3(n+1)+3)=3^(3n+6) et pas 3^(3n+4). Sinon la récurrence fonctionne, essaye de te faire apparaitre l'expression au rang n, que tu peux virer modulo 676, puis tu bidouille un peu pour faire apparaitre 2^2 et 13^2.

[arsene]

le theoreme des restes chinois sapplique aussi bien evidemment a plusieurs equations .
suis ce lien
et tu as la methode pr le calcul
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

[Hao]

ah super, merci pour la réponse :)

mais j'ai toujours des difficulté pour trouver une solution pour
3^(3n+6) - 26n - 53 ;) 0 mod 2^2x13^2 ... :briques:

[R.C.]

tu peux ecrire par exemple
3^(3n+6) - 26n - 53 = 3^(3n+3) - 26n - 27 + 26*3^(3n+3) - 26
tu reconnais l'expression au rang précédent et le reste et bien c'est déjà multiple de 26 = 2*13, donc il ne te reste plus qu'à vérifier que 3^(3n+3)-1 est divisible par 2 et par 13.

[Hao]

:id: ah merci beaucoup