Ptite question sur l'élément neutre et le symétrique.

[Hardtoexplain91]

Bonsoir,

je ne comprends pas:
E=[0,1[ et x,y appartiennent à E.
Si le symétrique de x existe, on l'appelle y.
x*y = x+y - E(x+y)
Si y est le symétrique de x, x*y=0. Je ne comprends pas... l'élément neutre doit forcément être un entier naturel? :s

merci

[SimonB]

Non, il faut que tu commences par montrer que l'élément neutre de ta loi est effectivement 0.

[Hardtoexplain91]

ok, bon alors, on recherche s'il existe un élément neutre, et on l'appelle y.

x*y= x+y - E(x+y) = y+x -E(y+x) = y*x, donc cette loi est commutative. Et il suffit de voir s'il existe un élément neutre à droite... ou à gauche. Donc:

x*y = x, quelque soit x.
x+y - E(x+y) = x
y - E(x+y) = 0

d'où y = E(x+y)

Or x et y appartiennent à E et y est forcément un entier naturel, donc y = 0 car E= [0,1[ donc l'élément neutre existe et égal à 0.

On recherche à présent s'il existe un symétrique.

[Hardtoexplain91]

je voulais savoir aussi si un élément pouvait admettre plusieurs symétriques?
parce que dans ce cas là on a :

x+y = E (x+y)
donc x+y est un entier naturel
or, y appartient à [0,1[
donc x+y appartienent à [0,2[

Donc deux possibilités:

x+y = 0
x+y = 1

donc y=0 ou y=1-x

[nyafai]

pour x=0 tu as en effet que son symétrique est 0.

Par contre pour x>0, tu ne peux pas avoir x+y=0 (car y>=0) donc tu as x+y=1 et le symétrique de x est 1-x.

[Hardtoexplain91]

ah d'accord, ok :) merci

[Luc]

Salut,

ok, bon alors, on recherche s'il existe un élément neutre, et on l'appelle y.

y = E(x+y)

Or x et y appartiennent à E et y est forcément un entier naturel, donc y = 0 car E= [0,1[ donc l'élément neutre existe et égal à 0.

On recherche à présent s'il existe un symétrique.

Déja évite d'appeler y ton candidat pour être élément neutre. Choisis plutôt une lettre appropriée comme "e".

Ensuite, l'élément neutre n'est pas forcément un entier naturel, tu as pêché ça où??

La raison pour laquelle y=0: Suppose par l'absurde y>0. Alors en choisissant x assez proche de 1, (> 1-y en fait), tu aurais y=E(x+y)=1 puisque x+y >1 . Ce qui n'est pas possible puisque y < 1.

Je pense que toutes les notions de base que tu as sur les groupes ne sont pas encore très au point ^^

Cordialement,

Luc