Groupe (G,*)

[Epik34]

Bonjour,

je souhaiterais présenter un exercice. Voici l'énoncé:

Soit (G,*) un groupe (d'élément neutre e) tel que pour tout x dans G on ait
x*x = e. Montrer que ce groupe est commutatif et que, s'il est fini, alors
son cardinal est une puissance de 2 (on pourra pour se faire le munir d'une
structure d'espace vectoriel sur Z/2Z).

Plusieurs choses me posent problème, en fait:

> J'aimerais savoir ce que vous pensez de l'* de l'énoncé: désigne-t-elle ici uniquement la "multiplication" ou peut-il s'agir du symbole de loi de composition interne incluant également "l'addition"?

> Je connais la propriété qui dit que si (G,*) est un groupe d'élément neutre e dans lequel tout élément est involutif, il est effectivement commutatif; mais comment le démontrer?
Et munir G d'une structure d'espace vectoriel sur Z/2Z, pourquoi?
Peut-être s'agit-il de (Z/2Z,+,.) avec + loi interne, et . loi externe, mais vers quel corps?

Je suis assez embrouillé avec tout ça :hein: et je serais très reconnaissant envers ceux qui accepteront de m'aider :we: !

[yos]

1) Une l.c.i. se note comme on veut. Si * te plait pas, prend . ou + ou T ou crunch (a crunch b ça sonne bien je trouve).
Quoiqu'il en soit, ça n'a aucun lien avec l'addition ou la multiplication qu'on connait dans R par exemple.

2) Compare (xy)² et x²y².

3) Le corps, c'est Z/2Z ici (et les lois sont bien + et X héritées de l'addition et de la multiplication dans Z)

[Epik34]

D'accord.

En effet, je pensais aux . et + des notations usuelles pour les groupes abéliens. Je m'emmêle les pinceaux...

Bon alors:

(xy)² = (x*y)*(x*y) = e
et
x²*y² = (x*x)*(y*y) = e
d'où
(xy)² = x²*y² = e

Puis-je en conclure de (xy)² = x²*y² que * est commutative car cela donne x*(y*x)*y = x*(x*y)*y et donc x*y = y*x (cela peut-il se justifier pas le fait que * soit associative?)?

[yos]

Associativité, oui, mais aussi le fait qu'on puisse simplifier à droite et à gauche.

[Epik34]

On munit le groupe abélien (G,*) d'un espace vectoriel E de dimension d sur le corps Z/2Z (avec la loi interne * et une loi externe T telle que 0Tx = e et 1Tx = x pour tout x dans G).
Comme (G,*) est un groupe fini, alors dim E = d est finie, et on sait que
|E| = |Z/2Z|dim E = 2^d.

Comment prouver que |E| = |(G,*)|?

[Doraki]

on munit pas G d'un espace vectoriel, on munit G d'une structure d'espace vectoriel.

G muni de * et T est donc un Z/2Z-espace vectoriel, et comme il est fini il est de dimension finie et donc le cardinal de G est une puissance de 2.