Boule unité

[tony800]

Bonjour,

J'aurais besoin de déterminer la boule :


avec

La valeur absolue me bloque, je ne vois pas comment m'en débarasser.

Pourriez-vous me donner un coup de main?

Merci d'avance
Au revoir

[tony800]

Dans ce cas il faut que je le fasse en fonction de t?

Ce qui donnerait :


Et je détaillerais chaque cas?

[Doraki]

Il faudrait peut-être que les cas que tu considères aient un rapport avec le signe de l'expression sous la valeur absolue, tu crois pas ?

Il peut se passer 3 trucs selon les valeurs de x et y :
Ou bien l'expression est toujours positive et l'intégrale se calcule facilement,
ou bien elle est toujours négative et elle se calcule encore facilement,
ou bien elle change de signe pour un t dans [0;1] et il faut donc séparer l'intégrale en deux, et là sa se calcule facilement.

[tony800]

Non, je n'ai pas fait de dessin, je ne vois pas comment le faire d'ailleurs.

On a \forall t \in [0,1] -1\leq x+\sqrt {2}ty\leq1

Sinon pour les 3 cas j'aurais donc :

1/ si
2/ si
3/ si

L'intégrale donnerait donc :
1/
2/
3/

[Doraki]

On a

hein ? quoi ?

1/ si
2/ si

C'est vrai.

3/ si

Ca veut rien dire.

L'intégrale donnerait donc :
1/
2/
3/

Serais-tu en train de dire un truc du genre "dans le cas 1, c'est à dire pour , alors N(x,y) = ?
Si c'est le cas, ben ça veut rien dire parceque la condition sur (x,y) parle d'un t qui n'existe pas.

Dans quelles condition sur (x,y) est-ce que l'expression intégrée reste positive pour tout t dans l'intervalle d'intégration [0,1] ? Que vaut N(x,y) dans ce cas là ?

[tony800]

Dans ce cas il faut que je calcul l'intégrale est seulement ensuite je formule mes conditions?

[tony800]

Pour fixer x et y : je définis par exemple x = t, et j'en déduis y.
Mais je ne vous pas la paramètrisation que je dois faire, j'ai essayé avec y =tx, x = ty, x = t, y = t, mais je n'ai rien trouvé de facile à exploiter.

[tony800]

Doit-on fixer x et y entre [-1,1]?

Les 3 cas sont :

1/
2/
3/

Mais je ne vois pas comment faire la suite.
Doit-on calculer l'intégrale dans chaque cas?

[Doraki]

tu peux calculer, au hasard, N(2,3), N(-1,2) et N(-5,2) ?

[tony800]

Je viens d'effectuer les calculs, et j'ai remarqué qu'on avait bien 3 cas différents, mais je ne vois pas comment le généraliser avec x et y.
Enfin surtout comment je peux en déduire la boule unité.

[seriousme]

Avec un changement de variable et un réarrangement c'est plus évident :

Avec et
L'expression est une fonction affine de t : au pire il y a quatre cas à distinguer.
Mais comme l'intervalle d'étude est [0, 1] les cas et sont simples et permettent de retirer la valeur absolue.

[tony800]

Merci bien pour votre aide.

Maintenant, cela me parait très clair.

J'avais continué cet exercice et j'avais commencé à trouver quelques trucs.

[tony800]

J'ai dit que je venais de comprendre, c'est vrai, mais j'ai un souci pour les 2 autres cas.
J'ai fait le cas ou a et et je dois décomposer l'intégrale.
J'ai dit que l'intégrale connair :


mais je pense que c'est faux.

Et les mêmes calculs pour le cas ou a \leq 0 et b \geq 0, avec les signes opposés.

Pourriez-vous me donnez un conseil en plus?

[tony800]

Personne pour me dire si ce que j'ai fait était juste?