DM avec des variables aléatoires...

[ludo74]

Bonjour à tous,
j'ai un dm pour lundi et j'ai un petit souci avec des variables..

Dans un jeu il y a n numéros (de 1 à n) dont p gagnants choisis à l'avance, et connus du seul meneur du jeu.
On suppose que n appartient a N*, p appartient à N* et p=<n/3

Dans la première phase du jeu, le joueur tire au hasard successivement p numéros différents. Le meneur de jeu dévoile alors p numéros perdants parmi les n-p numéros qui n'ont pas été tirés.

Dans la deuxième phase du jeu le joueur a le choix entre deux stratégies:
-Stratégie A: Il garde les p numéros qu'il a tirés.
-Stratégie B: il échange les p numéros contre p nouveaux numéros tirés au hasard parmi les n-2p numéros qui n'ont ni été tirés ni dévoilés durant la première phase...

Le but de l'exercice est est de détermine la stratégie avec la quelle le joueur a le plus de chance de gagner.

Pour on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si le ième numéro tiré dans la première phase est gagnant, 0 sinon. On note aussi X la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants dans la première phase.

a. Donner la loi des Xi puis établir une relation entre X et les Xi.


Voila j'ai vraiment du mal sur cette question je ne sais pas par ou commencer et étant donné que c'est la première du dm je suis un peu coincé...

merci d'avance

V

[R.C.]

Bonjour !
Hmm des probas j'adore ça...
Bien pour la première partie de la question, je te conseille de déterminer d'abord la loi de X1 (vu que c'est celle du premier numéro tiré), puis celle de X2, et ensuite je pense que tu devrais trouver. Indice : je pense qu'il y a des trucs du genre probabilité conditionnelle dedans.
Pour la deuxième moitié, en fait je te pose une autre question : j'ai X un ensemble fini, E un sous ensemble, et la fonction qui vaut 1 sur E et 0 sinon. Peux-tu me donner une formule qui relie le cardinal de E et .
Voila.
D'ailleurs cet énoncé me rappelle le paradoxe probabiliste que tout le monde balance à tout bout de champs : C'est Jean-Pierre qui va au Bigdil, et ya Lagaffe qui lui fait choisir une porte parmis trois. Derrière une ya une merco, derrière les autres ya une photo dédicacée. Jean-Pierre en choisit une et Lagaffe dit au gros truc bleu d'en ouvrir une des deux restantes. Coup de bol, c'est une photo. Alors là Lagaffe il a la question qui tue : Jean-Pierre, est-ce que tu veux changer de porte? C'est ton dernier mot? Question : que devrais faire Jean-Pierre s'il avait suivi un cours de proba?

[ludo74]

:ptdr: :ptdr: c'est marrant c'est exactement ce que notre prof nous a donné comme exemple l'histoire du bigdil.
Sinon pour X1 je trouve et par contre je vois pas trop en quoi ça m'aide pour la suite?? :briques:

[R.C.]

Je ne suit pas tout à fait d'accord avec ce que tu trouves : si tu veux calculer P(X1=1), tu ne dois considérer que le premier tirage, tu n'as pas besoin de t'embeter avec les tirages suivant. Ca revient donc à dire : si je choisis un numéros au hasard quelle chance j'ai qu'il soit gagnant? Pour X2 je pense que tu as compris le principe, sauf que le truc d'avant se propage. Pour les cas suivant, à mon avis il suffit d'écrire une grosse somme : quand tu veux calculer P(Xi=1), tu dois prendre en compte les tirages 1,..,i.

[ludo74]

ah oui exact donc en fait P(X1=1)=p/n et donc
P(X2=1)=((n-p)/n)*(p/n-1)+(p/n)*((p-1)/(n-1))
j'ai l'inmpression que je me trompe pourtant je ne vois pas d'autres manières de l'exprimer...

[ludo74]

en fait mon gros problème c'est surtout pour mettre ça sous forme d'une somme...

[R.C.]

C'est ca. Je ne suis pas persuadé qu'il y ait une expression plus synthétique.

[ludo74]

ah ça c'est embêtant parce que pour le calculer je peux pas le faire si je n'ai pas de somme ou un truc un peu plus facile a calculer...

[R.C.]

Désolé j'ai mis un peu de temps à réagir et je n'ai pas vu ton nouveau message. En fait la probabilité que Xi=1 dépend des probabilités précédentes : si tu as déjà choisi l nombres qui sont bons avant (ca fait déjà une certaine probabilité à calculer), il ne t'en reste plus que p-l et en tout n-l, ce qui te donne une certaine probabilité de tirer un bon numéro sachant que tu en as déjà tiré l. Tu sommes tout ca sur tout ce que tu peux et c bon. Ce que tu fais c'est en fait que tu découpes l'évenement "j'ai tiré le i-eme numero et il est gagnant" en petits morceaux indépendants.

[ludo74]

en fait je crois que je viens de decouvrir quelque chose d'intéressant P(X1=1)=P(X2=2)=P(X3=2)=p/n le truc c'est que je pense que c'est vrai pour tout i mais je sais pas commet le prouver en essayant par récurrence ça me parait un peu coton nan??

[R.C.]

Ouch, exact, je n'avais pas fait le calcul. Par récurrence et en utilisant les trucs sur les sommes que je t'ai dites(maintenant avec l'HR tu peux calculer facilement la proba que tu ais deja tiré l bons numéros), je pense que ca te donnera le résultat voulu.