Carré parfait

[Zweig]

Salut,

Déterminer tous les couples d'entiers naturels tels que soit un carré parfait.

Enjoy :++:

[lapras]

salut,
j'ai pas fait les calculs mais je pense que ma méthode aboutit.
On se rammène à résoudre :
X^2 +Y^2 + Z^2 = 1
X, Y et Z rationnels.
Ce qui correspond aux points de coordonnées rationnelles sur la sphère unité.
On prend C = cercle intersection du plan (OXy) avec la sphere.
On prend alors tous les pts à coordonnées rationnelles sur C, en faisant varier une droite à coeff directeur rationnel passant par un point A à coordonnées rationnelles. (ce qui revient à calculer les triplets pythagoriciens en fait)
Pour chaque point M de C, a coordonnées rationnelles, on prend le plan P passant par M et O et perpendiculaire à (xOy).
On calcul le cercle C' intersection de P avec la sphere.
On calcul alors tous les poinrs a coordonnées rationnelles de ce cercle avec la même méthode que précédemment.
On voit facilement que de cette manière on obtient tous les points à coordonnées rationnelles sur la sphère.

Je n'ai pas fait les calculs...

[Asymetric]

Je sais pas si je suis sur quelque chose ... mais bon :

On réécrit l'équation :

(x+2y+my)(x+2y-my) = 4xy - 1
m² était le carré

Comme 4xy -1 est impair alors les deux facteurs sont impairs.
Mais je sais pas si j'obtient quelque chose... je cherche.

[nodgim]

Si (x²+1)/y² +4 est un carré, on peut écrire:x²+1=y²(n²-4).
y²(n²-4) est un grand carré de petits carrés, auquel on a ôté 4 petits carrés.
Pour retrouver un carré plus petit, on peut grignoter le grand carré sur 2 cotés pour remplir le trou des 4 petits carrés.
4y²=2a(yn-a)+a²-1, a étant la largeur du grignotage du grand carré.

4y²-2ayn+a²+1=0 et f(y) est de degré 2.
D'(delta)= a²n²-4a²-4
Pour que D soit un carré (c'est nécessaire) on peut l'écrire sous la forme (an-2)² ou (an-2a)², ou... mais il y a toujours un reste.
D-(an-2)²=-4a²+4an-8, reste nul seulement si a=1 et n=3 comme solution entière
D-(an-2a)²=4a²n-8a²-4 reste nul seulement si a=1 et n=3 comme solution entière

La seule solution (x,y) est donc (2,1)

Bon, en toute honnêteté, la discussion sur le delta ne me convainc pas à 100%.

[ThSQ]

Je n'ai pas fini tout à fait mais je pense (je suis sûr ;)) qu'il y a une infinité de solutions (équation de Pell, lien lointain avec Fibonacci). Je pense (mais je suis pas sûr à 100%) que si c'est un carré alors c'est 3² (descente infinie un peu foireuse). Je cherche encore ... :marteau:

[Zweig]

Mauvaise intuition, il n'existe qu'une seule solution ^^.

[ThSQ]

Ah ?

(2,1), (38,17), (682,305), ...

[Zweig]

Désolé, j'ai lu trop vite. Je pensais que tu disais qu'il existait une infinité de carrés parfaits ; oui effectivement, il n'existe plus qu'un couple ... :++:

[ThSQ]

Mais si c'est un carré c'est alors 3² ? non ?

[Zweig]

Yep ! :++:

[nodgim]

Alors, la démo du message 4 est valable ou pas ?
Je disais que je n'étais pas certain du tout... :hum:

[ffpower]

Et bien vu qu il y a une infinité de solutions d apres thsq,c est que ta demo doit etre fausse^^
Thm:2 démonstrations justes ne peuvent mener a 2 résultats contradcitoires

[ThSQ]

Thm:2 démonstrations justes ne peuvent mener a 2 résultats contradcitoires

En supposant que les mathématiques sont non contradictoires, ce qui n'est pas prouvée

[ffpower]

Ce qui n'est pas prouvable d ailleurs^^.Autant pour moi,ca vaut p-e le coup de vérifier la preuve alors,on tient peut etre la contradiction des mathématiques la :ptdr:

[acoustica]

Ce qui n'est pas prouvable d ailleurs^^.Autant pour moi,ca vaut p-e le coup de vérifier la preuve alors,on tient peut etre la contradiction des mathématiques la :ptdr:

Ouah, après la démonstration de la conjecture de Syracuse, la contradiction des mathématiques!! Il y a de la graine de génie dans ce forum!!! :ptdr: :ptdr:

[nodgim]

Et bien vu qu il y a une infinité de solutions d apres thsq,c est que ta demo doit etre fausse^^
Thm:2 démonstrations justes ne peuvent mener a 2 résultats contradcitoires

Tu n'a pas tout lu dans le détail, il n'y a en fait qu'une seule solution.
Et puis, il y a certaines démonstrations justes qui aboutissent à des résultats contradictoires: on parle alors d'indécidabilité. :doh:

[ffpower]

Pas vraiment,un résultat indécidable,c est un résultat qui n a pas de démonstrations.On peut pas prouver qu il est juste,on peut pas prouver qu il est faux

[nodgim]

Pas vraiment,un résultat indécidable,c est un résultat qui n a pas de démonstrations.On peut pas prouver qu il est juste,on peut pas prouver qu il est faux

Euh, ce n'est pas plutôt qu'on prouve qu'il est impossible de prouver ? :doh: Je fais une différence entre une conjecture et un problème indécidable..

[ffpower]

Ben c est ca,indécidable=ya pas de preuves.Apres pour qu un résultat soit indécidable,on est pas obligé de prouvé qu il est indécidable^^(son indécidabilité pouvant etre elle meme indécidable a priori lol)

[ThSQ]

Oulah.

Indécidable : qu'on ne peut déduire en partant d'axiomes donnés
Contradictoire : en partant d'axiomes donnés on peut arriver à p et non(p).