Exponentielle.

[axiome]

Bonjour,
J'ai trouvé dans un vieux bouquin un exo niveau terminal et j'avoue coincer (c'est pas très glorieux...) à une question. Je comprends en fait pas bien l'énoncé (la question 4 me perturbe par rapport à la question 3)...
Pouvez-vous me donner un coup de pouce ?

La fonction exponentielle vérifie l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)*f(y) pour tous x et y de .
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur qui vérifient l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)*f(y) pour tous x et y de .

1/ Montrer que si f(0)=0 alors f est la fonction nulle.

On suppose dorénavant que et que f est dérivable en 0.

2/ Montrer que pour tout , pour tout



3/ En déduire que f est dérivable sur et qu'elle vérifie f'=f. En déduire l'expression de f(x).
4/ On suppose de plus que f '(0)=1, montrer qu'alors f est la fonction exponentielle.

Alors, les deux premières question, no prob quand même...
La 3, f est dérivable sur , ok.
Mais en déduire que f'=f, là sur le coup je ne vois pas...
De même, en déduire l'expression de f(x), là non plus, je ne vois pas...

Pour la 4, je comprends pas non plus ce qu'il faut faire, prouver que f '(0)=1, là je veux bien mais montrer qu'alors f est la fonction exponentielle, ça, je trouve que c'est bizarre comme question car on m'a déjà demandé à la question 3 l'expression de f(x)...

Si qqn peut m'éclairer, ça serait vraiment sympa. Ca commence à me frustrer ce petit exo... :happy2:

[Doraki]

Tu peux te douter que l'énoncé a une erreur puisque si f'(0) ne vaut pas 1, on a pas f' = f.
Donc à la 3 à mon avis il faut seulement dire que f'(x) = f(x) * f'(0)

[Antho07]

En effet,

il semble que l'on ait en faite.

f'=Cf où C=f'(0) constant

[axiome]

Tu peux te douter que l'énoncé a une erreur puisque si f'(0) ne vaut pas 1, on a pas f' = f.
Donc à la 3 à mon avis il faut seulement dire que f'(x) = f(x) * f'(0)

Oki, tu as raison, il doit bien y avoir une erreur, ça me rassure... :we:

[axiome]

Alors, j'ai corrigé l'erreur d'énoncé, l'exo me semble faisable comme cela qu'en pensez-vous ?

1/ Montrer que si f(0)=0 alors f est la fonction nulle.

On suppose dorénavant que et que f est dérivable en 0.

2/ Montrer que pour tout , pour tout



3/ En déduire que f est dérivable sur
4/ On suppose de plus que f '(0)=1, montrer qu'alors f est la fonction exponentielle.

Maintenant, je sais faire les 3 premières questions...
Pour la 4, avec f '(0)=1, on démontre facilement que f'=f et on peut démontrer aussi que f(0)=1 par ailleurs.
Ceci démontre que la fonction f est la fonction exponentielle : c'est sa définition.

Voila, pensez-vous que l'erreur d'énoncé est bien corrigée ?
Merci.