Espace probabilisé

[gui63]

Salut. Dans les sujets de concours d'entrée aux écoles de commerce, on nous parle souvent de X et Y, variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. J'ai du mal a comprendre ce que ca signifie. Qu'elles ont le même univers?
Merci

[seriousme]

Cela signifie que :
- l'univers est le même,
- la tribu des évènements est la même,
- la manière de mesurer les évènements est la même.

Par exemple pour un investissement donné, le cash-flow à l'année n et le cash flow actualisé pour cette même année sont des V.A. définies sur le même espace probabilisé.

[gui63]

Hum, on n'utilise que des expériences a univers finis, je n'ai aucune idée de ce qu'est une tribu d'évènements. Je définis un espace probabilisé par (omega, P(omega), P). Je suppose que P est la façon de mesurer les évènements dont tu parles...

Par exemple, si je tire une boule dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, et que je note N le numéro de la boule tirée, puis que je lance un dé à N faces et que je note X le résultat obtenu, les variables N et X sont-elles définies sur un même espace probabilisé?

[seriousme]

La définition est ambiguë.

En effet un espace probabilisé est la donnée :
- d'un ensemble : celui des évènements élémentaires,
- d'une famille de sous-ensembles de l'ensemble des parties de vérifiant les propriétés d'une tribu,
- d'une mesure P sur ces ensembles vérifiant : .

Une tribu souvent définie sur est l'ensemble des parties de : c'est la plus grande tribu qui peut être constituée sur .
Elle est également nommée tribu triviale.

[gui63]

Cela signifie-t-il donc que deux variables aléatoires définies sur un meme espace sont egales? Si on a l'univers et la proba égale...

[seriousme]

Deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ne sont pas forcément égales : comme le cash-flow et le cash-flow actualisé.

Cela signifie juste qu'elles opèrent sur les mêmes données.

[gui63]

Et elles suivent nécessairement la même loi de probabilité?

[seriousme]

Non pas forcément.

Par exemple :
soit l'expérience consistant à lancer une pièce 1 fois et à observer le résultat.
C'est une expérience de Bernoulli à laquelle on peut associer l'espace probabilisé .
Avec :




Maintenant soient et deux variables aléatoires définies sur .
mesure le succès et associe la valeur 1 à un succès.
mesure l'echec et associe la valeur 1 à un échec.

La fonctions de densité de la loi suivie par est :


Celle de la loi suivie par est :


Les lois de probabilité et ne sont donc pas égales dans le cas général, elles le sont quand

La loi de probabilité suivie par une variable aléatoire dépend de la sémantique de la transformation induite par la variable aléatoire sur l'espace probabilisé.

[gui63]

Ok merci, j'ai compris.