Fonctions égales

[Charlo]

Bonsoir, voici l'énoncé de questions qui me posent souci...

On suppose u et v deux fonctions continues sur R+ telles que : pour tout p de N, pour tout q de N, u(p/2^q) = v(p/2^q)
Soit x_0 appartenant à R+ et epsilon>0

1/ Montrer qu'il existe un réel alpha>0 tel que :
pour tout x de R+, |x - x_0| < alpha implique |u(x) - u(x_0)| < epsilon et |v(x) - v(x_0)| < epsilon

2/ En déduire que pour tout x de R+, u(x) = v(x)

PS : on a montré avant cette question 2 que |u(x_0) - v(x_0)| < 2 epsilon

Si quelqu'un veut bien se pencher sur la question... surtout sur la question 2/... Merci.
Cordialement

[Sa Majesté]

Bonsoir, voici l'énoncé de questions qui me posent souci...

On suppose u et v deux fonctions continues sur R+ telles que : pour tout p de N, pour tout q de N, u(p/2^q) = v(p/2^q)
Soit x_0 appartenant à R+ et epsilon>0

1/ Montrer qu'il existe un réel alpha>0 tel que :
pour tout x de R+, |x - x_0| < alpha implique |u(x) - u(x_0)| < epsilon et |v(x) - v(x_0)| < epsilon

C'est la définition de la continuité ...
En fait :
- u continue implique l'existence d'un alpha_u tel que |x - x_0| < alpha_u implique |u(x) - u(x_0)| < epsilon
- v continue implique l'existence d'un alpha_v tel que |x - x_0| < alpha_v implique |v(x) - v(x_0)| < epsilon
Il suffit de prendre alpha = min(alpha_u,alpha_v)

[Charlo]

Bonsoir Majesté,

C'est effectivement comme ça que j'avais fait, merci pour la confirmation je n'étais pas certain de moi. Avez vous une idée pour la deuxième question ? Je coince à ce niveau... :(

[Sa Majesté]

Petit indice :
u(x)-v(x) = (u(x)-u(x0)) + (u(x0)-v(x0)) + (v(x0)-v(x)) :id:
Reste plus qu'à majorer |u(x)-v(x)| avec ça

[Charlo]

Je vois pas... Quelqu'un peut-il m'expliquer ? =(

[Sa Majesté]

u(x)-v(x) = (u(x)-u(x0)) + (u(x0)-v(x0)) + (v(x0)-v(x))
|u(x)-v(x)| = |(u(x)-u(x0)) + (u(x0)-v(x0)) + (v(x0)-v(x))|
|u(x)-v(x)| < |u(x)-u(x0)| + |u(x0)-v(x0)| + |v(x0)-v(x)|
car
|a+b| < |a| + |b|