Nature d'une application et éléments caractéristiques

[the_pooh12]

Bonjour,

Voici un exercice que je n'arrive pas à faire entièrement...

Tout d'abord, je suis désolée pour l'écriture de la matrice mais quand je l'écris en code latex, ça ne passe pas !

Soit P un plan affine euclidien avec un repère (O,i,j). On considère f une application du plan dans lui-même telle que
x' = (1/5) (-3x+4y+3)
y' = (1/5) (-4x+3y+14)
Déterminer la nature de f et ses éléments caractéristiques.

Voici ce que j'ai fait !
La matrice de f est A = (1/5) (-3 -4)
( -4 -3)


A² = Id, donc comme A est orthogonale f est une isométrie et comme le déterminant de A est -1, f est un anti-déplacement.
f s'écrit comme la composée d'une symétrie d'axe D et d'une translation de vecteur u.
f = s(D) o t(u) = t(u) o s(D)

En faisant f o f = t(2u) je trouve u de coordonnées (-1 2).

Mais après je n'arrive pas à calculer l'axe de la symétrie.*
J'ai essayé d'écrire f o t(-u) = s(D), j'applique f o t(-u) à un point de coordonnées (x,y) mais ça me donne un vecteur et non une équation de droite...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[yos]

Mais après je n'arrive pas à calculer l'axe de la symétrie.

Le plus rapide est de prendre l'ensemble des milieux de [Mf(M)].
L'autre méthode est de faire , d'écrire les formules analytiques de s, et de chercher ses invariants.

[the_pooh12]

Je trouve que le système n'a pas de solutions pour les points invariants !

[Doraki]

Pourquoi les signes sont mis n'importe comment dans la définition de f et dans la matrice A ?

[yos]

Les invariants de s et pas ceux de f. J'ai pas fait les calculs, mais si ce que tu as dit plus haut est juste (f symétrie glissée), alors f n'a pas d'invariant.