Exercie sur les Primitives

[turbeoman]

Bonjour j'ai un exercice sur les primitives :

Soit f(x) = ((x+1)(4-x)) / (x²+4)²

Soit F = (2x-3)/(x²+4)

Je dois montrer que F est une primitive de f

J'ai donc calculé la dérivée de F

J'arrive à ça :

F'(x)= (2(x²+4) - 2x(2x-3)) / (x²+4)²

Que dois-je faire ensuite? Factoriser? Si oui, comment?
Ai-je utilisé la bonne methode?

[Jakk]

Bon la solution est un peut maline mais elle consiste a résoudre une équation de 2ème degré:

F'(x)= (2(x²+4) - 2x(2x-3)) / (x²+4)²
=(2x²+8-4x²+6x)/(x²+4)²
=(-2x²+6x+8)/(x²+4)²
maintenant il faut résoudre l'équation -2x²+6x+8

delta=b²-4ac=36+64=100>0
donc il existe deux solutions pour cette équation
-soit x=(-6+(100)^1/2)/-4=-1
-ou x=(-6-(100)^1/2)/-4=4

donc -2x²+6x+8=-(x+1)(x-4)=(x+1)(4-x)

et finallement, F'(x)=(x+1)(4-x)/(x²+4)²=f(x)
donc F(x) est la primitives de f(x).

Merci qui?

[turbeoman]

Merci jakk^^

[Florélianne]

Soit f(x) = ((x+1)(4-x)) / (x²+4)²

Soit F = (2x-3)/(x²+4)
Je dois montrer que F est une primitive de f
J'ai donc calculé la dérivée de F
J'arrive à ça :
F'(x)= (2(x²+4) - 2x(2x-3)) / (x²+4)²

u(x) = 2x-3 , donc : u'(x) = 2
v(x) = (x²+4); donc v'(x) = 2x
F(x) = u(x)/v(x) donc
F'(x) = [2(x²+4)-2x(2x-3)]/(x²+4)²
donc ce que tu as fait est juste

soit N(x) le numérateur :
N(x) =2(x²+4)-2x(2x-3) = 2x²+8 - 4x²+6x = -2x²+6x 8
N(x) = -2(x²-3x-4)
pour factoriser cherchons N(-1) = -2(1+3-4)=0
donc on peut mettre (x+1) en facteur dans N(x)

à toi de continuer la factorisation...
Bon travail

[Jakk]

de rein ;)

[Jakk]

belle technique floriane, on peut continuer en divisant N(x) sur (x+1) et on obtiendra le même résultat! x)

[turbeoman]

Merci florianne mais au fait jakk je ne comprends pas la fin de ton truc :
donc -2x²+6x+8=-(x+1)(x-4)=(x+1)(4-x)
je ne comprends pas ton raisonnement peux-tu m'expliquer?

[turbeoman]

car moi je trouve F'(x)=-2(x²-3x-4) / (x²+4)²
et f(x) developpé= x²-3x+4 / (x²+4)²