Calcul d'intégrale

[Dysklain]

bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un calcul d'intégrale:

int( dt / ( sqrt(1-t) + sqrt(1+t) ), t= -1...1 )
je passe à la quantité conjugué, je sépare l'intégrale puis je fais le changement de variable x = sqrt (1 - t) , j'arrive, pour l'un des deux termes à int ( u² / ( u² - 1 ), u=0...2)
à partir de là je dis u² = u² + 1 -1 pour arriver à 1 / u² - 1.
A partir de là, on peut décomposer en élément simple mais j'ai l'impression que y'a un pb quelque part.

Normalement, devrait y avoir un souci d'intégrabilité mais je vois pas où. :briques:

merci

[JJa]

Bonjour,

int( dt / ( sqrt(1-t) + sqrt(1+t) ), t= -1...1 )
il n'y a pas de souci puisque le dénominateur est toujours positif.
Le plus simple semble de faire le changement :
t=sin(2x)
et avec :
racine(1+sin(2x)) = cos(x)+sin(x)
racine(1-sin(2x)) = cos(x)-sin(x)
on est conduit à l'intégrale :
int( (cos(2x)/cos(x))dx , x=-pi/4 ... +pi/4 )
Une primitive de cos(2x)/cos(x) est :
2cos(x)+ln(cos(x))-ln(1+sin(x))
D'où la valeur de l'intégrale = 2*racine(2)-ln(3+2*racine(2))
ou = 2*racine(2)+ln(3-2*racine(2))

[phryte]

Bonjour.

2*racine(2)+ln(3-2*racine(2))

C'est bon.
Maple trouve :
restart:
> int( 1 / ( sqrt(1-t) + sqrt(1+t) ), t= -1...1 );
>
2sqrt(2) - 2 Re(arctanh(sqrt(2)))

> evalf(");

1.065679949

[Dysklain]

d'accord j'ai trouvé merci