K-Algebre et Linéarité

[silent_james]

Bonjour tout le monde,

Je n'arrive pas à démontrer la linéarité d'une application...
Soit K[G] la K-algèbre du groupe G.
Soit E et F tels que K[G] soit la somme direct de E et F.
Soit P le projecteur orthogonal sur E parallèlement à F.
Soit T définie comme suit :
T va de K[G] dans K[G] ou G est un groupe, K un corps et .
Pour tout a, Ta = gP(ha) où g appartient à G, h est l'opposé de G.

Montrer que T est K-linéaire.

soit a, b dans K[G], T(a+b)= gP(h(a+b))= gP(ha + hb) car K[G] est un espace vectoriel.
gP(ha + hb)= gP(ha) + gP(hb) car P est un endomorphisme;
=T(a) + P(b)

Je pense que ça, c'est juste....
Mais pour montrer T(va) = vT(a) où v est dans K, j'ai un petit souci...

Si quelqu'un peut m'éclairer.... merci

[Doraki]

Tu peux montrer que pour tout g de G, l'endomorphisme de K[G] mg : x -> gx est linéaire ?
Après, T est alors la composée de mh, P, et mg qui sont linéaires.

Il faut revenir à la définition de la multiplication d'un élément de K[G] par un élément de G.

[silent_james]

Salut Doraki, merci de merci pour ta réponse.
Je suis revenu à la définition....

J'obtiens avec g dans G, u dans K et a de la forme somme sur G de m(a)h.
g(ua) = Somme sur k dans G (Somme telle que gv=k de gum(a)v) et je n'arrive toujours pas à sortir le u...

[silent_james]

(merci pour ta réponse lool)

[Doraki]

Tes sommes sont pas très très claires.
"Somme sur G de m(a)h" c'est "Somme pour h dans G de m(a,h).h" (m(a,h) est un élément de K, le coefficient de h dans a).

u.a, c'est alors Somme pour h dans G de (u*m(a,h)).h

Ensuite, "Somme telle que gv=k" c'est pas très parlant :
Je suppose que tu veux dire
g(ua) = g( Somme pour h dans G de (u*m(a,h)).h)
= Somme pour h dans G de g(u*m(a,h).h) par ... additivité de g ?

puis g(u*m(a,h).h) serait ta "Somme telle que gv=h de gum(a,h).v"
Il n'y a qu'un seul v tel que gv = h, et c'est v = (g-1.h) (composition dans G)
Ensuite, ton "gum.v". Alors là tu multiplies entre eux g et v (qui sont dans G), et u et m (qui sont dans K) ? Ca serait pas plutôt (u*m).(gv) ?
Et tu as du te tromper, parceque gv ça fait h et tu te retrouves à ne rien faire au final.
A mon avis le g est complètement de trop là dedans.

Enfin bref, ta définition de l'action de G sur K[G] a l'air très laide si c'est ce que tu as utilisé pour obtenir tout ça.
Il faut que tu précises à quels ensembles appartiennent tout ce que tu manipules et surtout quelles opérations correspondent aux multiplications que tu fais.