Détermination d'un ensemble

[Dimitri22]

Bonjour,

j'ai un petit problèmes à la fin d'un exo.
On a A, B, C et D quatre points non coplanaires. I milieu de [AB], J milieu de [CD] et K milieu de [IJ].

J'ai déjà montrer:
Qu'on ne pouvait pas avoir I=J
Que l'ensemble (1) = {M tq MA+MB=MC+MD} n'a pas de solution (où MA, MB, MC et MD sont des vecteurs)
Que l'ensemble (2)= {M tq ||MA+MB||=||MC+MD||} = plan médiateur de [IJ] (où MA, MB, MC et MD sont des vecteurs)

et je dois trouver l'ensemble (3) = {M tq MA²+MB²=MC²+MD²}

quelqu'un aurait-il une idée?

En sachant que la dernière question est " Peut-on avoir l'ensemble (2) = l'ensemble (3)? " donc il doit y avoir un lien

[yos]

(th. de la médiane, facile à redémontrer avec les propriétés de base du produit scalaire).
Ta condition va devenir ou encore , G étant le milieu de [IJ].
Autre façon : avec un repère.

[Dimitri22]

Mais dans ce cas quel est l'ensemble? on ne peut pas le déterminer sans une valeur de k

[yos]

Note H le projeté orthogonal de M sur (IJ). La condition devient ou selon le signe de k.
Cette condition détermine le point H. Ainsi les points M solution sont ceux du plan perpendiculaire à (IJ) passant par ce point H.

[Dimitri22]

Je ne comprend pas cette étape: ou encore

Quand on arrive à
2MI²+(1/2)AB² = 2MJ²+(1/2)CD²
(MI²-MJ²)= (1/4)(CD²-AB²)

je ne vois pas comment passer à MI²-MJ²=k

[yos]

(1/4)(CD²-AB²)

C'est ce que j'ai nommé k : ça ne dépend que de trucs connus. c'est une constante si tu veux.
Ensuite il faut remplacer les carrés des longueurs et par les carrés des vecteurs et puis factoriser la différence des carrés.

[Dimitri22]

K milieu de [IJ] donc


Mais je ne vois vraiment pas comment arriver à 2

[Dimitri22]

Je viens de trouver. merci

donc au final on a




Mais que représente l'ensemble?

[Dimitri22]

Dans tous les cas si on a AB=CD dans ce cas l'ensemble (2) = l'ensemble (3)
Mais bon je ne vois pas comment expliquer l'ensemble (3) avec ceci



Je pense que l'ensemble serait un point qui dépendrait des coordonnées des point A, B, C et D et donc également des coordonnées de I et J. Est-ce bon?

[yos]

J'avais répondu dans le message 4. Ca donne toujours un plan perpendiculaire à (IJ). Comme tu l'as dit, ce plan est le plan médiateur de [IJ] lorsque AB=CD.

[Dimitri22]

Merci beaucoup