Récurrence et divisibilité

[dez67]

Bonjour,

Je commence avec la recurrence et j'ai quelque difficulté (même après avoir regardé bon nombre de messages sur le forum).

Alors, je dois montrer que n^5 - n est divisible par 5

J'ai prouvé que si n = 1 alors 1^5 -1 = 0 donc 0/5 marche

Maintenant on doit le prouver avec n + 1 donc ca nous donne

(n+1) ^5 - (n+1) est divisible par 5


Rendu ici je bloque
Je sais que plus tard je vais devoir dire (n+1) ^5 - (n+1) = 5c et que le triangle de pascal nous aide à calculer le (n + 1) ^5

Mais bon, j'aimerais bien que quelqu'un puisse expliquer la démarche au long
Car la où j'ai de la difficulté est de savoir à quoi arrivé comme réponse à la fin

Merci

[leon1789]

hé l'eau :id:
c'est un exo classique, pas besoin de récurrence.

peux-tu factoriser (le plus possible que tu peux) ?

[leon1789]

que donne la forme développée de (n+1) ^5 - (n+1) ?

[leon1789]

En passant, sans récurrence, même si cela ne t'intéresses pas, on peut montrer facilement d'un coup que n^5-n est divisible par 30 ! :zen:

[Rower]

Je commence par te dire que pour une récurrence il faut dire avant la démonstration du rang n+1 qu'on suppose la propriété vrai au rang n

une maniere simple est de développer la formule pour retrouver la propriété au rang n

Allez c'est parti




apres devellopement et simplification (ou en utilisant dirrectement le triangle de pascal)


et la magie opère


le reste tu es capable de le trouver tout seul

[dez67]

Ouais cela me permet d'avancer j'ai aussi calculé avec le triangle de pascal et ca donne comme toi.

Mais je reste encore un peu mélanger, est-ce que maintenant je dois soustraire le n+1 au


Et ensuite faire tout cela = 5c
Car si c'est ca je vais revenir au point de départ qui est (n+1) ^5 - (n+1)

Merci

[Rower]

Tu ne mets pas du tient vraiment , on dirais que tu attends qu'on resolve l'exercice pour toi (sans etre agressif)

Bon...

on arrive a un truc
n^5-n + 5(...)
divisible par 5 divisible par 5
et tu conclus merci, ton 5c ne sert à rien ^^"

[dez67]

Merci,

Je viens juste d'allumer :id: (j'écoutais sinsemilia ça doit être pour ca :ptdr: )

Où j'avais mal compris dans ta piste c'était le (...) qui voulait en faite dire que c'était factorisé

Encore merci!

[oscar]

Bonjour

n^5 - n = M.5?

n^5-n = n( n-1)(n+1( n²+1)= n(n-1) (n³ +n² +n+1)

n^5-n = m.2 car n-1 et n sont consécutifs

n = M5 + ( 0; -1: 1 :2)
Donc n^5 = M.5+ ( 0;-1:1 ,ou 2)

Donc n^5-n = M.5

[dez67]

Merci de la réponse

J'en profite pour en poser un autre toute bête qui me tracasse
Sur se site il y a une démonstration de divisibilité
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi5.htm#div5

J'arrive pas à comprendre pourquoi l'auteur, lorsqu'il est à son étape de
calculer la différence, il fait f(n+1) - 2*f(n)
Pourquoi ce n'est pas moins f(n) ?

Merci