Polynome

[mathilde36]

Bonjour, j'ai un dm de maths a faire, et je bloque sur certaine questions...
Merci d'avance pour votre aide.

Déterminé tous les polynomes de degré 2 ayant pour racines -5 et 2 et dont l'image de zéro est 1


VRAI- FAUX justifier:
L'équation (x² -4x +3)/(x-1)= 0 a pour ensemble de solution S= {1;3}

[Rower]

Bonjour, c'est parti pour l'aide, tu dois utiliser les différentes information qui te sont données

Tout d'abord qu'est ce qu'un ploynome de seconde degré?

c'est un polynome qui s'écrit sous la forme:


avec a,b,c des nombres réels, a étant non nul

Ensuite qu'est ce que veut dire que l'image de zéro est 1?

cela veut dire qu'en remplaçant X par 0 dans l'équation donnée, tu obtiens 1

ainsi on a


donc



ensuite tu sais que -5 et 2 sont les racines de ce polynome
ainsi en utilisant les données déja exploitées
et en traduisant la définition des racines numériquement



il suffit donc de résoudre ce petit système de deux équation et de voir si il y a plusieurs résultats

[Rower]

Pour la deuxième question c'est une question de bon sens,
Sachant qu'il y a pour un polynome de seconde degré, dans R, au maximum deux racines différentes
Il suffit de remplacer dans le polynme x par les valeurs des racines pour vérifier si ce polynome possède comme racine ces deux nombre.

Attention: il faut vérifier si en remplaçant par ces nombres l'opération que tu vas effectuée est possible ou pas aussi, un polynome de second degrès peut avoir une seule racine ou aucune dans R

[mathilde36]

Pour la premiere question, le systeme, j'ai trouvé:

(-5)²a+-5b+1=0
2²a+2b+1=0

-50a+10b-2=0
-20a-10b-5=0

-70a-7=0
-70a=7
a=-7/70 =-1/10


et


(-5)²a+-5b+1=0
2²a+2b+1=0

50a - 10b+2=0
-50a-10b-5=0

-20b -3=0
-20b =3
b=3/-20

C'est ça?

Pouvez vous me repondre svp

[mathilde36]

Pour la deuxieme question, j'ai fait :

P(1) = 1² -4*1+3/ 1-1
= 1-4+3/0
= 0/0

1 n'est pas solution, operation impossible

P(3)= 3²-4*3+3/3-1
= 9-9/2
= 0/2
=0
3 est solution, operation possible

Est ce qu'il faut faire comme cela, ou bien se servir de delta?

[Florélianne]

Bonjour,

VRAI- FAUX justifier:
L'équation (x² -4x +3)/(x-1)= 0 a pour ensemble de solution S= {1;3}

La réponse est FAUX et aucun calcul n'est nécessaire : 1 n'est pas dans l'ensemble de définition puisque le dénominateur serait nul, inutile d'aller plus loin !
Bon travail !

[Florélianne]

Rebonjour,
Déterminer tous les polynômes de degré 2 ayant pour racines -5 et 2 et dont l'image de zéro est 1
Un polynôme qui a pour racine -5 et 2 peut se factoriser sous la forme(x+5)(x-2)Q(x)
comme le degré de (x+5)(x-2) est 2 le degré de Q est 0
donc Q est un nombre réel non nul
maintenant P(0) = 1
donc (5)(-2)Q = 1 ou -10Q = 1 Q = -1/10
Le seul polynôme qui réponde à ces trois conditions est
P(x) = -1/10 (x+5)(x-2)

Réfléchir fait gagner du temps ! Avant de se lancer dans des calculs, commencer par raisonner et voir si la réponse n'est pas évidente...
Bonne soirée

[mathilde36]

Merci beaucoup pour votre aide! C'est beaucoup plus simple de cette maniere la en effet...

Maintenant j'ai:

Soit le polynome: P(x) = 2 x^3 +15 x²- 2673

1- Quel est le degré de P(x)? Quel sont ces coefficients?

> Le degré de P(x) est 3
> Coefficients, non resolu

2- Démontrer que 9 est une racince de P(x)

>P(9) = 2*9^3 +15*9²-2673
= 1458 + 1215-2673
= 0
Conclusion: 9 est bien racine de P(x)

3-Factoriser au maximum P(x)
>non résolu

4- Déduire les solutions de l'equations P(x)=0

> non résolu


Pouvez vous m'aider svp?

[mathilde36]

aidez moi svp

[Kah]

Salut, comme 9 et une racine de ton polynôme, tu as (x-9) en facteur dedans.

[mathilde36]

escuzez moi mais je ne comprend pas pouvez vous m'expliquer comment factoriser svp?

[Luc]

Salut,

Factoriser par , c'est chercher a,b,c des réels tels que pour tout x,



Pour trouver a,b et c, il faut développer le terme de droite et identifier coefficient par coefficient. Par exemple, tu vois qu'il y aura ax^3 à droite, et 2x^3 à gauche, donc a=2.

[Kah]

Tu peux aussi te dire que:
a=2, seule possibilité pour avoir 2x^3, car 2x^2(x-9)=2x^3-18x^2
Apres, tu veux 15 x^2, mais tu as déjà (-18 x^2). Il faut donc que b=33 pour avoir 15 x^2 car (2x^2+33x)(x-9)=2x^3+15x^2-297x
Apres, tu n'as aucun terme de rang 1.
c=297, pour contrebalancer les -297x "crées" par le b=33
et la, Ô miracle, tout tombe juste.

[Mathusalem]

Merci beaucoup pour votre aide! C'est beaucoup plus simple de cette maniere la en effet...

Maintenant j'ai:

Soit le polynome: P(x) = 2 x^3 +15 x²- 2673

1- Quel est le degré de P(x)? Quel sont ces coefficients?

> Le degré de P(x) est 3
> Coefficients, non resolu

2- Démontrer que 9 est une racince de P(x)

>P(9) = 2*9^3 +15*9²-2673
= 1458 + 1215-2673
= 0
Conclusion: 9 est bien racine de P(x)

3-Factoriser au maximum P(x)
>non résolu

4- Déduire les solutions de l'equations P(x)=0

> non résolu


Pouvez vous m'aider svp?

Ton polynome de degres trois est
2 x^3 +15 x²- 2673
A comparer avec un polynome de degre 3 general
a x^3 + b x^2 + c x + d Ou a, b, c, et d sont les coefficients de ton polynome.

Factoriser au maximum 1) Divison Euclidienne ou 2) Avoir le nez.

Tu sais que si 9 est une racine, tu peux ecrire que

(x-9)(ax^2+bx+c) = 2x^3 + 15x^2 - 2673

C'est juste la traduction de : Si 9 est une racine, je peux sortir un facteur (x-9) de mon expression.
Mais, je ne sais pas a quoi ressemble mon expression avec un facteur (x-9) sorti, si ce n'est que je sais que le reste doit etre de degre 2.

Il te reste a determiner les coefficients a, b, et c de ton polynome.
Pour cela, un peu de bon sens.

(x-9)(ax^2+bx+c) = 2x^3 + 15x^2 - 2673

Tu sais que la seule combinaison qui va te donner une puissance ^3 est la combinaison x*ax^2 e.g le premier terme de la distribution.
Par consequent, tu deduis que a = 2

Tu sais que la seule combinaison qui donne le dernier facteur est la combinaison -9 * c e.g le dernier terme de la distribution
Donc c = 297
Tu as donc
(x-9)(2x^2 + bx + 297) = 2x^3 - 15x^2 - 2763
=
2x^3 + bx^2 + 297x - 18x^2 - 9bx - 2763

Tu sais que tu ne veux pas de termes en x, car il n'y en a pas dans ton polynome
Donc -297x = -9bx
b = 33
Si tu as fait ton raisonnement juste, tu peux aussi verifier que
bx^2 - 18x^2 = 15x^2
Donc que b = 33 ici aussi

Si ca te plait pas, passe par la divison Euclidienne si t'as le droit

Tu as donc (x-9)(2x^2+33x+297) = 2x^3 + 15x - 2673

Tu veux encore factoriser plus

Utilise le determinant pour factoriser 2x^2 + 33x + 297

Bizarre... C'est pas possible de le factoriser...
Ca veut dire quoi pour ses racines?