Petite question de définition

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Clise
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petite question de définition

par Clise » 15 Nov 2008, 00:16

Bonsoir,

J'aurai une question de définition (et de curiosité ^^) qui pourra en faire râler certains...

Comment est ce qu'on définit un entier naturel ? (enfin le premier car les autres sont définit par récurrence), donc comment définit - on le nombre 1 formellement ?

J'ai appris une définition (il y a quelque temps) lors d'un travail sur les nombres ordinaux : on peut définir le nombre 1 comme l'ensemble de l'ensemble vide et par récurrence un entier naturel comme l'ensemble des entiers naturels qui le précède (une des propriété des nombres ordinaux).

Cependant, j'aimerais savoir, s'il existe d'autres définitions existante d'un entier naturel ou plus généralement de l'ensemble des entiers naturels ?

Merci pour vos réponses ou toute précision ^^



Purrace
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par Purrace » 15 Nov 2008, 00:45

Ben 1 est l'élément unité du corps des réels....

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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 15 Nov 2008, 00:46

Bonsoir,
Tu as les axiomes de Peano par ex
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

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leon1789
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par leon1789 » 15 Nov 2008, 01:49

Purrace a écrit:Ben 1 est l'élément unité du corps des réels....

ah ben ! tu construis les réels avant les entiers ?!

Clise
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par Clise » 15 Nov 2008, 02:09

oui, je ne vois pas comment construire le corps des réels avant celui des entiers :briques:

Sinon merci, pour les définitions des axiomes de peano, mais en gros il définissent les entiers naturels comme je l'ai mentionné, en partant de la définition des ensembles ... Je voulais savoir, s'il y avait une autre manière de "voir" l'ensemble des entiers naturels que d'une manière ensembliste (définie par Peano ou ZF d'ailleurs).

Doraki
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par Doraki » 15 Nov 2008, 02:54

Clise a écrit:Comment est ce qu'on définit un entier naturel ? (enfin le premier car les autres sont définit par récurrence), donc comment définit - on le nombre 1 formellement ?

1 !?? Depuis quand 1 est-il le premier entier naturel ?
Non non non, le premier entier naturel c'est 0. D'ailleurs tout le monde compte à partir de 0, non ?

Sinon j'aime bien définir l'ensemble des entiers comme étant le plus petit point fixe de l'opérateur X -> {0} union (s X) où 0 est un truc et s est un constructeur (injectif) de l'ensemble des trucs dans l'ensemble des trucs qui s'appelle successeur, et s X est un abus de notation pour désigner l'ensemble des successeurs des éléments de X.

J'aime bien aussi définir l'entier n comme la fonction qui prend un truc (qu'on peut appeler 0), qui prend une fonction de l'ensemble des trucs dans l'ensemble des trucs (qu'on peut appeler s), et qui renvoie s (s (s ... s (0)...)) (s appliqué n fois à 0).

Clise
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par Clise » 15 Nov 2008, 03:09

Désolé pour mon manque de rigueur, effectivement 1 est le second, pas le premier, mais c'est le nombre "premier", celui qu'il faut définir a partir de rien puisque dans toutes les définitions que j'ai pu trouver le nombre 0 représentait l'ensemble vide, donc le rien quoi ... (c'est pour cela que je cherche une autre définition, qui ne définit entre autre pas le 0 de l'ensemble vide)

Doraki a écrit:1 !?? Depuis quand 1 est-il le premier entier naturel ?
Non non non, le premier entier naturel c'est 0. D'ailleurs tout le monde compte à partir de 0, non ?

A l'heure actuelle oui, cependant le concept de 0 était inconnus des Romains pourtant ils ont fait quelques trucs sympa déja avec les autres entiers ;)

J'ai l'impression que toutes les définitions que vous me donné sont les mêmes, ou alors je manque quelque chose la ...

Je vais essayer de mieux formaliser la définition que je connais ...
on a un opérateur successeur qui a un ensemble associe l'ensemble de ses successeurs ... On pose 0 l'ensemble vide, le seul a avoir aucun successeur.
on définit n pour tout n supérieur a 0 comme n =s(n), ce qui donne pour les premiers entiers :





et par réccurence (définie par les axiomes de Peano il me semble non ?)

Je sais, c'est un peu lourd :mur:

Ma question portait sur une autre manière de définir les entiers ... savoir si ça existait ou non ...

Purrace
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par Purrace » 15 Nov 2008, 14:39

Non mais moi j'ai répondu juste à la question : comment définir formellement le nombre 1?(dans le cas des réels). Ma réponse n'a rien à voir avec la construction des entiers naturelles ou ....

Doraki
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par Doraki » 15 Nov 2008, 15:08

1 = s(1) ? c'est rigolo.

J'ai jamais dit que 0 devait absolument être l'ensemble vide..

Dans ma deuxième "définition", l'entier n c'est l'application qui à un "ensemble" E, une fonction s de E -> E, et un élément zéro de E associe (s appliqué n fois à zéro) de E.

0 c'est donc l'application (E : "ensemble") -> (s : E -> E) -> Identité de E
1 c'est (E : "ensemble") -> Identité de (E -> E)
2 c'est (E : "ensemble") -> (s : E -> E) -> (zéro : E) -> s (s zéro).

(Va voir les entiers de Church dans le système F)

L'ensemble vide n'a rien à voir avec tout ça, je crois.

Clise
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par Clise » 15 Nov 2008, 16:19

Doraki a écrit:1 = s(1) ? c'est rigolo.


Clise a écrit:on a un opérateur successeur qui a un ensemble associe l'ensemble de ses successeurs ...


Pardon, ça serait plutôt s : opérateur qui a un ensemble associe l'ensemble de ses prédécesseurs ... donc c'est sur que la notation s n'est pas très bien choisie :hum: (je vais la renommer P)
donc 1 = P(1) i.e l'ensemble des entiers qui précède 1 i.e {0}.


Doraki a écrit:Dans ma deuxième "définition", l'entier n c'est l'application qui à un "ensemble" E, une fonction s de E -> E, et un élément zéro de E associe (s appliqué n fois à zéro) de E.

0 c'est donc l'application (E : "ensemble") -> (s : E -> E) -> Identité de E
1 c'est (E : "ensemble") -> Identité de (E -> E)
2 c'est (E : "ensemble") -> (s : E -> E) -> (zéro : E) -> s (s zéro).

(Va voir les entiers de Church dans le système F)

L'ensemble vide n'a rien à voir avec tout ça, je crois.



Effectivement, je crois avoir compris, cependant ce qui me troublait c'est ce que je définissait pouvait être considéré comme la répétition n fois de l'opérateur prédécesseur que je viens de redéfinir ... cependant ta vision semble être plus large, la mienne seulement un cas particulier de ce que tu m'as définie.

Si j'ai bien compris les entiers de Church sont définie comme la fonction qui a f associe (où représente la fonction f itéré plusieurs fois). Donc,



etc, c'est ça ?

Dans ce cas, comment savoir que toutes les propriétés des entiers naturels sont valables avec ce système ?

 

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