Centre de sympétrie d'une courbe

[cleyz]

Bonjour,

J'aimerais savoir comment démontrer qu'une courbe possède un centre de symétrie quand on ne nous donne aucun point.

Dans l'exercice en question, je sais que v(x) = u(x) + x + 1
avec u(x) une fonction logarithme impaire (strictement croissante).
J'ai également démontrer que v(x) est strictement croissante.

Merci d'avance pour votre aide.

[maturin]

alors il me semble qu'il manque des éléments à ton énoncé.

Peux tu expliquer ce qu'est ta fonction u(x) ? logarithme impaire ne veut pas dire grand chose.

de manière générale pour démontrer les symètrie il faut montrer un truc du genre :

f(a-x)=f(a+x) => f admet la droite x=a comme axe de symétrie
f(a-x)=-f(a+x) => f admet le point (a,0) comme centre de symétrie

tu n'as pas besoin connaitre entièrement f pour en déduire les symétries. Si tu sais uniquement que f(-x)=-f(x) tu peux en déduire que le point O est centre de symétrie, mais ça ne te donnera pas bcp plus d'info sur f.

[cleyz]

En faite il faut que je démontre que v(x) admet un centre de symétrie... et je crois que j'ai réussi.

J'ai remarqué que le point (0 ; 1) est centre de symétrie puisque :

v( 0 - x ) + v( 0 + x ) = v(-x) + v(x) = u(-x) - x + 1 + u(x) + x + 1

et comme on a u(-x) = - u(x) on trouve :

v( 0 - x ) + v ( 0 + x ) = 2 * 1

donc le point de coordonnée (0 ; 1) est centre de symétrie de la représentation de v.

Mais après je vois pas comment justifier que j'ai appliqué la formule avec ce point là plutôt qu'avec un autre...

Merci de me dire si c'est juste ou si il y a pas une méthode qui ne soit pas par tâtonnement.

[maturin]

le plus simple c'est toujours par tatonnement ou parce que ça se voit dans l'expression (du style t'as du x-a partout donc tu suppose que ça va être en a).

Si tu sais que u est impaire tu vas tenter de comparer v(-x) avec v(x) pour utiliser la propriété de u.
Et tu trouve v(-x)=2-v(x)
soit v(-x)-1=-(v(x)-1)

ce qui justifie ton centre de symétrie.