Limite gauche/droite

par **k.o** » 12 Nov 2008, 14:53

bonjour je ne sais pas dans quel sens ce thm est valable :

1/*si f admet une limite en a alors f admet une limite a droite et a gauche

2/*si f admet une limite a droite et a gauche alors f admet une limite en a

en cours on nous a dit que la 2/ ne voulait rien dire cependant j'ai un doute et dans des ouvrages je trouve les 2 théorème voir que le 1/ sans le 2/

pouvez vous m'éclairer?
merci d'avance

par **abcd22** » 12 Nov 2008, 15:07

Bonjour,
Le 1/ est vrai mais pas le 2. La fonction f définie par f(x) = 1 si x > 0 et f(x) = 0 sinon a des limites à droite et à gauche en 0 mais pas de limite en 0. Tu confonds peut-être avec : si f admet des limites à droite et à gauche en a et que ces limites sont égales (et égales à f(a) si f est définie en a), alors f admet une limite en a.

par **k.o** » 12 Nov 2008, 16:10

d'accord.
alors est ce que le théorème suivant est juste ; si f admet une limite en a ,alors elle admet une limite à droite et une limite à gauche de a qui lui sont égales.

merci

par **yos** » 12 Nov 2008, 17:05

k.o a écrit:si f admet une limite en a ,alors elle admet une limite à droite et une limite à gauche de a qui lui sont égales.

C'est qui "lui"?
Les limites à droite et à gauche en a sont égales (exemple : sin x/x en 0).
Si f est définie en a, elles sont égales à f(a) (exemple : toute fonction continue en a intérieur à Df).

par **Black Jack** » 12 Nov 2008, 17:12

Il faut quant même se méfier des définitions et conventions que l'on utilise et qui sont loin d'être les mêmes pour tous.

Exemple :
Si on a une fonction f(x) = x définie sur [5 ; 17]

La fonction n'a pas de limite à gauche de 5 puisqu'elle n'y est pas définie.

Mais peut-on dire que la lim en 5 de f(x) est 5 ?

Si oui, alors, la proposition 1/ de l'énoncé est prise en défaut.

Et pourtant, pour beaucoup de mathématiciens, la limite en 5 de f(x) = x définie sur [5 ; 17] est 5

Il faut donc connaître les conventions et définitions utilisées pour pouvoir dire si la proposition /1 est ou non vraie.

La proposition 2/ est fausse pour toutes les conventions et définitions que j'ai déjà vues.

:zen:

par **ElHadj** » 12 Nov 2008, 17:28

k.o a écrit:d'accord.
alors est ce que le théorème suivant est juste ; si f admet une limite en a ,alors elle admet une limite à droite et une limite à gauche de a qui lui sont égales.

merci

Ce théorème est vrai si f est définie à droite et à gauche de a. Par exemple la fonction arcos est définie sur [-1,1], donc on ne peut pas parler de limite à droite en 1 ou à gauche en -1.

par **yos** » 12 Nov 2008, 18:29

Black Jack a écrit:Il faut donc connaître les conventions et définitions utilisées pour pouvoir dire si la proposition /1 est ou non vraie.

Il faut ajouter dans les hypothèses de la proposition que a est intérieur à

;
Pour le reste, la fonction

restreinte à [5,17] admet bien sûr une vraie limite en 5. Cela n'a aucun rapport avec la proposition mais vient de la définition :
> signifie que

.

par **leon1789** » 12 Nov 2008, 19:12

yos a écrit:Il faut ajouter dans les hypothèses de la proposition que a est intérieur à ;

tout a fait, sinon...

yos a écrit:> signifie que
.

... avec cette seule "phrase", une fonction définie sur [5,7] possèderait une (des) limite(s) en 0 ! :mur:

par **Black Jack** » 12 Nov 2008, 19:46

[quote="yos"]Il faut ajouter dans les hypothèses de la proposition que a est intérieur à

;
Pour le reste, la fonction

restreinte à [5,17] admet bien sûr une vraie limite en 5. Cela n'a aucun rapport avec la proposition mais vient de la définition :
> signifie que
[TEX]\forall\epsilon >0,\exists \alpha>0,(|x-a| B et toi du écriras A >= B.
Et cela ce n'est qu'un détail, une bibliothèque complète ne suffirait pas pour pointer toutes des différences de définitions ou conventions utilisées par tous les mathématiciens du monde.

C'est pourquoi, je préfère dire : si on ne précise pas les conventions et définitions utilisées, on risque fort de grands déboires.
Chacun est évidemment persuadé que les définitions et conventions qu'il utilise sont les bonnes...

:zen:

par **yos** » 12 Nov 2008, 20:45

leon1789 a écrit:avec cette seule "phrase", une fonction définie sur [5,7] possèderait une (des) limite(s) en 0

Il va de soi qu'on commence par dire "soit f définie sur D et a adhérent à D" et au début du chapitre :
"toutes les fcts considérées sont définies sur un intervalle non dégénéré ou sur une réunion de tels intervalles".

Pour Black Jack : je sais bien qu'il n'y a rien de totalement officiel, mais d'une part, ici on est en France, d'autre part k.o. passe le capes et il vaut mieux pour elle/lui que son exposé soit cohérent et pas trop loin des conventions d'ici.

par **leon1789** » 13 Nov 2008, 09:33

yos a écrit:Il va de soi qu'on commence par dire "soit f définie sur D et a adhérent à D" et au début du chapitre :
"toutes les fcts considérées sont définies sur un intervalle non dégénéré ou sur une réunion de tels intervalles".

On bien d'accord ! La phrase du message 8 http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=478194&postcount=8
est coupée en deux :zen:

par **Black Jack** » 15 Nov 2008, 18:19

yos a écrit:Pour Black Jack : je sais bien qu'il n'y a rien de totalement officiel, mais d'une part, ici on est en France, d'autre part k.o. passe le capes et il vaut mieux pour elle/lui que son exposé soit cohérent et pas trop loin des conventions d'ici.

"mais d'une part, ici on est en France" : Pas moi. :we:

:zen:

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