N-gone à n diagonales

[Skrilax]

Bonjour, :happy2:

Trouver tous les polygones ayant autant de côtés que de diagonales

[lapras]

Bonjour,
n=5 :we:
PS : c'est plutot niveau lycée dénombrement...

[Skrilax]

bordel t'as pas traîné ^^ tu le connaissais déjà peut-être ?
a-t-il déjà été posté ?

PS = oui c'est vrai mais dans la mesure où il n'y a aucune indication quant à comment aborder le problème (caractéristique des exos d'olympiades) je me suis dit qu'il avait sa place ici, malgré le fait qu'il ne soit pas d'un difficulté extrême.

[lapras]

Non je ne le connaissais absolument pas...

[Skrilax]

Bon alors toutes mes félicitations :++:

[miikou]

salut,

un polygone a n(n-3)/2 diagonales, on resoud n²-3n-10= 0
la seule solution positive est n=5
voila :)

[Skrilax]

salut,

un polygone a n(n-3)/2 diagonales, on resoud n²-3n-10= 0
la seule solution positive est n=5
voila

Certes mais pourquoi un polygone a-t-il n(n-3)/2 diagonales ?
sinon ce serait un peu facile :we:

[miikou]

ca se montre par reccurence assez simplement :)

[lapras]

Pas besoin de récurrence
pour chaque sommet il y y'a (n-3) autres sommets non adjacents/confondus
donc il y'a n(n-3) diagonales puisqu'il y'a n somments mais on compte chaque diagonale deux fois, on divise donc par deux

[miikou]

pas besoin de ton truc non plus, ca marche par reccurence :)

[Sa Majesté]

on resoud n²-3n-10= 0

Non : on résout ! :briques:
Je n'y peux rien, ce sont les arcanes de la langue française :hein:

[miikou]

certes certes

[Zweig]

Certes mais pourquoi un polygone a-t-il n(n-3)/2 diagonales ?
sinon ce serait un peu facile :we:

D'autres formules "analogues" en guise d'exos :

- Le nombre de points d'intersection des diagonales d'un -gone est :
- Un -gone est divisé par ses diagonales en parties
- Les diagonales (telles que trois ne soient jamais concourantes) dessinent dans un -gone triangles

[Skrilax]

pas besoin de ton truc non plus, ca marche par reccurence

Oui mais cette méthode requiert de connaître la formule ^^

Voici une autre méthode :

On dénombre le nombre de possibilités de relier 2 sommets parmi les n existants : il y a segments. on soustrait le nombre de côtés afin de ne se retouver qu'avec les diagonales et, (je vous passe le calcul, qui est élémentaire mais un peu long a écrire en LaTeX) on a que le nombre de côtés d'un n-gone est : n(n-3)/2

[Imod]

La méthode exposée par Lapras pour le décompte des diagonales est aussi celle qu'on utilise au collège pour compter les arêtes des pavés ou des prismes . Il y a n sommets , 3 arêtes partent de chaque sommets , il y a donc 3n/2 arêtes . On évite ainsi le décompte fastidieux et aléatoire des arêtes .

Imod