Espace vectoriel

[dudule]

Bonjour à tous !!!

Je suis en pleine révision pour les partielles de janvier, et je n'arrive pas à résoudre un exercice que nous n'avons pas corrigé en cours.
Voici l'énoncé:

1/ Soit u1=(1,1,1,3) u2=(-1,1,-2,2) et u3=(1,5,-1,13).
a){u1,u2,u3} est-elle une famille libre de R^4 ? Pour cette question c'est bon ce n'est pas une famille libre car u3=3u1+2u2
b)On pose : U=Vect{u1,u2,u3} et V={(x,y,z) / 2x-2y-z=0 ET x-t=0}
Démontrer que U et V sont deux sous-espaces supplémentaires de R^4 ? ( Je ne demande pas forcément la solution mais je demande seulement les différentes méthodes pour prouver que deux sous-espaces sont supplémentaires )

2/ Soit p:R^4 dans R^4 l'endomorphisme de R^4 dont la matrice dans la base canonique B° de R^4 est :
7 -10 -5 3
M de B° (p)= 1 -2 -1 1
10 -14 -7 4
6 -10 -5 4

a) Démontrer que : V C(inclus) Ker p
Calculer p(u1) et p(u2). En déduire que: dim ( Im p )>=2.
b) Déduire des résultats précédents que : Ker p =V et Im p = U.

3/ Soit v=(a,b,c,d) appartenant à R^4. On sait, d'aprés la question 1/, qu'il existe un couple unique (v1,v2) de U*V tel que : v=v1+v2. Calculer v1.


Je ne demande pas forcément les solutions ( mème si je ne suis pas contre évidemment) mais quelques pistes et quelques explications pour ces questions . Merci d'avance !!!!!

[flight]

salut
ne manque t il pas quelques chose à V={(x,y,z) / 2x-2y-z=0 ET x-t=0}

ne serait ce pas V={(x,y,z,t)E R^4 / 2x-2y-z=0 ET x-t=0} ?

dans ce un vecteur de U de V s'ecrit compte tenu du fait que x=t et z=2x-2y ;

U(x,y,z,t)=U(x,y,2x-2y,x)=x(1,0,2,1)+y(0,1,-2,0)

donc V est engendré par les vecteurs (1,0,2,1) et (0,1,-2,0)


a+

[dudule]

Oui désolé j'ai bien oublié de dire : V={x,y,z,t}E R^4 ...

Je suis d'accord avec toi pour les vecteurs qui engendre V .
Pour cette question b) je pense que j'arriverais a me débrouiller tout seul, c'est surtout pour la suite que je bloque vraiment !!!