Idéal dans Q[X]

[dominique.abgrall]

Bonjour,
soit I un idéal de Q[X] non trivial
X²-3X+3 dans I
Montrer que X-1 n'est pas dans I

Voilà ce que j'ai essayé. Supposons que X-1 soit dans I
Alors je cherche à montrer que I est trivial (ici égal à Q[X])
j'en arrive à dire que Q[X]\I={a+bX, où a différent de -b, a dans Q}
Autrement dit il me suffit de montrer que cet ensemble est dans I pour conclure.
Mais je ne crois pas que cette démarche soit la bonne.
Quelqu'un aurait il une idée ?
Merci

[Joker62]

Haileau ;)

Q[X] est principal, donc ses idéaux sont engendrés par un seul élément
X² - 3X + 3 est irréductible par Einsenstein, on a I = (X² - 3X + 3)

Si X-1 appartenait à I on aurait l'existence d'un h(X) tel que
X² - 3X + 3 = (X-1)h(X) ce qui n'est pas possible

NB : Suis pas sûr mais je pense :)